Question

10．如图，静止于A处的离子，经电压为U的加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左．静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所在处场强为E₀，方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；$\overline{QN}$=2d、$\overline{PN}$=3d，离子重力不计．
（1）求圆弧虚线对应的半径R的大小；
（2）若离子恰好能打在NQ的中点上，求矩形区域QNCD内匀强电场场强E的值；
（3）若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）离子在加速电场中加速时，电场力做功，动能增加，根据动能定理列出方程；粒子进入静电分析器，靠电场力提供向心力，结合牛顿第二定律列出方程，即可求出圆弧虚线对应的半径R的大小．
（2）离子进入矩形区域的有界匀强电场后做类平抛运动，将其进行正交分解，由牛顿第二定律和运动学公式结合，可求解场强E₀的值．
（3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得到轨迹半径．画出粒子刚好打在QN上的临界轨迹，由几何关系求出临界的轨迹半径，即可求得B的范围．

解答 解：（1）离子在加速电场中加速，根据动能定理有：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
离子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，根据牛顿第二定律有：qE₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{2U}{{E}_{0}}$；
（2）离子做类平抛运动
水平方向：d=vt，
竖直方向：3d=$\frac{1}{2}$at²，
由牛顿第二定律得：qE=ma，
解得：E=$\frac{3UR}{2d}$；
（3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mER}{q}}$，
离子能打在QF上，则没有从DQ边出去也没有从PF边出去，离子运动的边界如图中Ⅰ和Ⅱ．
由几何关系知，离子能打在QF上，必须满足：$\frac{3}{2}$d＜r≤2d，
则有：$\frac{1}{2d}$$\sqrt{\frac{mER}{q}}$≤B＜$\frac{2}{3d}$$\sqrt{\frac{mER}{q}}$；
答：（1）圆弧虚线对应的半径R的大小为$\frac{2U}{{E}_{0}}$；
（2）若离子恰好能打在NQ的中点上，矩形区域QNCD内匀强电场场强E的值为$\frac{3UR}{2d}$；
（3）若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，磁场磁感应强度B的取值范围是$\frac{1}{2d}$$\sqrt{\frac{mER}{q}}$≤B＜$\frac{2}{3d}$$\sqrt{\frac{mER}{q}}$．

点评 对于带电粒子在电场中加速过程，往往运用动能定理研究加速电压与速度的关系；对于电场中偏转问题，运动的分解是常用方法．磁场中的匀速圆周运动，要知道洛伦兹力充当向心力，画出轨迹是解答的关键，同时注意粒子在静电分析器中电场力不做功．