Question

8．如图所示，传送带与地面倾角θ=37°，从A到B长度为16m，传送带以10m/s的速度转动．在传送带上端A处由静止放一个质量为2kg的小煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10m/s²）则当皮带轮处于下列情况时，
（1）皮带顺时针转动时，求煤块从A运动到B所用时间；
（2）皮带逆时针转动时，求煤块到达B点时的速度大小；
（3）皮带逆时针转动时，煤块在传送带上留下的痕迹长度．

Answer 1

分析 （1）轮子沿顺时针方向转动时，传送带作用于小物体的摩擦力沿传送带向上，根据牛顿第二定律求出物体的加速度，结合运动学公式求出速度达到传送带速度时的时间和位移，由于重力沿斜面方向的分力大于滑动摩擦力，速度相等后，滑动摩擦力沿斜面向上，结合位移时间公式求出剩余段匀加速运动的时间，从而得出物体从A运动到B的时间；
（2）物体刚放上传送带，摩擦力的方向沿传送带向下，根据牛顿第二定律求出物体的加速度，结合运动学公式求出速度达到传送带速度时的时间和位移，由于重力沿斜面方向的分力大于滑动摩擦力，速度相等后，滑动摩擦力沿斜面向上，根据牛顿第二定律求出物体的加速度，结合位移时间公式求出剩余段匀加速运动的时间，根据速度时间公式求出煤块到达B点时的速度大小；
（3）第一阶段炭块的速度小于皮带速度，炭块相对皮带向上移动；第二阶段，炭块的速度大于皮带速度，炭块相对皮带向下移动；根据运动学公式求解相对位移．

解答 解：（1）轮子沿顺时针方向转动时，传送带作用于小物体的摩擦力沿传送带向上，物体的受力情况如图所示．

物体由静止加速，由牛顿第二定律可得
mgsin θ-μmgcos θ=ma₁
解得：a₁=2 m/s²，由于mgsinθ＞μmgcosθ，物体受滑动摩擦力一直向上，
则物体从A端运动到B端的时间t=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}=\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s．
（2）皮带沿逆时针方向转动时，传送带作用于小物体的摩擦力沿传送带向下，物体的受力情况如图所示．

物体由静止加速，由牛顿第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma₂
解得：a₂=10 m/s²
物体加速到与传送带速度相同需要的时间为
t₁=$\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{10}{10}$s=1 s
物体加速到与传送带速度相同时发生的位移为
s=$\frac{1}{2}$a₂t₁²=$\frac{1}{2}$×10×1² m=5 m
由于μ＜tan θ（μ=0.5，tan θ=0.75），物体在重力作用下将继续加速运动，物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体的摩擦力沿传送带向上，物体加速度为a₃=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=2 m/s²
设后一阶段物体滑至底端所用时间为t₂，由运动学公式有
L-s=vt₂+$\frac{1}{2}$a₃t₂²
解得t₂=1s
则煤块到达B点时的速度大小v′=a₂t₁+a₃t₂=10×1+2×1=12m/s
（2）第一阶段炭块的速度小于皮带速度，炭块相对皮带向上移动，炭块的位移为：
x=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{100}{2×10}$=5m
传送带的位移为x′=vt=10×1=10m，故炭块相对传送带上移5m，
第二阶段炭块的速度大于皮带速度，炭块相对皮带向下移动，炭块的位移为：
x₂=vt₂+$\frac{1}{2}$a₃t₂²=10×2+$\frac{1}{2}$×2×2²=24m
传送带的位移为20m，所以相对于传送带向下运动4m，
故传送带表面留下黑色炭迹的长度为5m
答：（1）皮带顺时针转动时，煤块从A运动到B所用时间为4s；
（2）皮带逆时针转动时，煤块到达B点时的速度大小为12m/s；
（3）皮带逆时针转动时，煤块在传送带上留下的痕迹长度为5m．

点评 从此例题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻．要理清物体的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律进行求解．