Question

【题目】如图所示，一垂直放置的高为15.0cm的圆柱形中空玻璃容器，其底部玻璃较厚，底部顶点A点到容器底平面中心B点的距离为8.0cm，底部上沿为一凸起的球冠，球心C点在A点正下方，球的半径为1.75cm．已知空气和容器玻璃的折射率分别是n0=1.0和n1=1.56．只考虑近轴光线成像。 已知：当λ《1时，sinλ＝λ．

(1)当容器内未装任何液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像的位置，并判断像的虚实；

(2)当容器内装满折射率为1.30的液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面折射后所成像点的位置，并判断这个像的虚实。

Answer 1

【答案】(1) 位置在C点正上方9.75cm处或在B点正上方16.0cm处，实像(2)虚像，在C点正下方26.25cm处或在B点正下方20.0cm处

【解析】

(1)容器底部凸面两侧介质的折射率分别是n1=1.56和n0=1.0。如图,由B点发出的经过球心C的光线BA经过顶点A后,方向不变,进入空气中;由B点发出的与BA成α角的另一条光线BD在D点折射,设折射角为φ,并与前一条出射光线交于E点,E点即B点的像点的位置。

由折射定律和几何关系得

nlsinθ=n0sinφ①

γ=α+θ②

φ=γ+β③

在三角形BCD和三角形CDE中,由正弦定理可得

④

　　⑤

由于只考虑近轴光线成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,①④⑤式可写为

n1θ=n0φ　　　⑥

θ=α　　　　⑦

φ=β　　⑧

由⑥⑦式可得

α+θ=φ(1+)＝0.82φ＜φ　⑨

所考虑的光线是会聚的,故所成的像为实像.由②③⑥⑦⑧式可得

将题给数据代入上式得

1.75cm=9.75cm　⑩

由⑨式和题给数据得

=(8.0-1.75+9.75)cm=16.0cm⑩

B点发出的光线通过平凸玻璃柱,在玻璃柱对称轴上所成的像点的位置在C点正上方9.75cm处或在B点正上方16.0cm处.

(2)容器底部凸面两侧介质的折射率分别是nl=1.56和n2=1.30.如图,由B点发出的经过球心C的光线BA经过顶点A后,方向不变,进入液体中;由B点发出的与BA成α角的另一条光线BD在D点折射,设折射角为φ,并与前一条出射光线交E点,E点即B点发出的光线第一次折射后所成像点的位置.

由折射定律和几何关系可得

nlsinθ=n2sinφ(11)

γ=α+θ(12)

γ=φ+β(13)

在三角形BCD和三角形CDE中,由正弦定理可得

(14)

(15)

由于只考虑近轴光线成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,(11)(14)(15)式可写为

n1θ=n2φ　(16)

θ=α　(17)

φ=β　(18)

由(16)(17)式可得

α+θ=φ(1+)＝1.07φ>φ　(19)

所考虑的光线是发散的,故所成的像为虚像.由(12)(13)(16)(17)(18)式得

将有关数据代入上式可得:

1.75cm=26.25cm(20)

由(19)式和题给数据得

=(1.75+26.25-8.0)cm=20.0cm(21)

B点发出的光线通过平凸玻璃柱,第一次折射后所成的像点的位置在C点正下方26.25cm处或在B点正下方20.0cm处.