如图所示,在坐标系xOy中,第一象限除外的其它象限都充满匀强磁场Ⅰ,磁感应强度都为B 1= 0.12T,方向垂直纸面向内.P是y轴上的一点,它到坐标原点O的距离l = 0.40m.一比荷C/kg的带正电粒子从P点开始进入匀强磁场中运动,初速度m/s,方向与y轴正方向成夹角θ= 53°并与磁场方向垂直.不计粒子的重力作用.已知sin53°=0.8,cos53°=0.6,求:
(1)粒子在磁场中运动的轨道半径R.
(2)在第一象限中与x轴平行的虚线上方的区域内充满沿x轴负方向的匀强电场(如图a所示),粒子在磁场中运动一段时间后进入第一象限,最后恰好从P点沿初速度的方向再次射入磁场.求匀强电场的电场强度E和电场边界(虚线)与x轴之间的距离d.
(3)如果撤去电场,在第一象限加另一匀强磁场Ⅱ,磁场方向垂直于xoy平面.在第(2)问虚线位置放置一块长度为L=0.25m的平板,平板的左边缘与y轴对齐(如图b所示).带电粒子仍从P点开始运动,欲使带电粒子第一次进入第一象限运动时不打到板上,求磁场Ⅱ的磁感应强度B2的大小和方向应满足什么条件?
解:
(1)粒子在磁场区域内运动,有
①(2分)
可得粒子运动的轨道半径
= 0.50m ②(1分)
(2)通过作图可知(如图),粒子运动轨迹的圆心A恰好落在x轴上。
由几何关系可知:粒子从C点进入第一象限时的位置坐标为
= 0.20m ④ (1分)
粒子进入匀强电场后做类平抛运动,设粒子在电场运动时间为t,加速度为a,则
⑤ (1分)
⑥ (1分)
⑦ (1分)
粒子运动到P点时,有 ⑧ (1分)
由以上各式,代入数据解得电场强度 N/C ⑨ (1分)
电场边界(虚线)与x轴之间的距离 d=0.10m ⑩ (1分)
(3)如果第一象限的磁场方向垂直于xoy平面向内,则带电粒子打到平板的临界条件为轨迹圆与板相切,此时轨迹半径为 R2=d=0.1m (1分)
由 得 (2分)
如果第一象限的磁场方向垂直于xoy平面向外,则带电粒子打到平板的临界条件为轨迹圆与板右侧边缘有交点,设此时轨迹半径为R3,由几何关系知
得 R3=0.125m (1分)
由 得 (2分)
故欲使带电粒子第一次进入第一象限运动时不打到板上,求磁场Ⅱ的磁感应强度B2的大小和方向应满足:
若磁场方向垂直于xoy平面向内,则B2>0.6T;
若磁场方向垂直于xoy平面向外,则B2>0.48T。 (2分)
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