Question

20．如图所示，在水平光滑的xOy平面内，存在一个竖直向下的稳定磁场，已知磁场的磁感应强度B在y轴方向按B=B₀+ky规律逐渐增大，k为已知常量．在坐标原点处有一个正方形的闭合导线框，在水平平面内线框以沿x轴正方向的初速度v₀开始运动，同时受到一个沿y轴正方向的水平恒力F作用，线框运动过程中不发生转动，已知闭合线框的边长为a，质量为m，电阻为R，试求：
（1）线框运动足够长时间后速度的大小；
（2）闭合线框的最大发热功率．

Answer 1

分析 （1）线框运动过程中左右两边切割磁感线产生的感应电动势抵消，回路产生的感应电动势是上下两边产生的感应电动势之差，左右两边受到的安培力合力为零，线框在水平方向做匀速直线运动，线框在竖直方向先做加速运动，足够长时间后，线框所受合力为零，在竖直方向做匀速直线运动，应用平衡条件求出竖直方向的速度，然后求出线框的速度．
（2）当线框受到最大时，产生的感应电动势最大，线框发热功率最大，应用电功率公式可以求出最大发热功率．

解答 解：（1）时间足够长后，线框在竖直方向上最匀速直线运动，
线框产生的感应电动势：E=E_上-E_下=B_上av_y-B_下av_y=（B₀+ky+ka）av_y-（B₀+ky）av_y=ka²v_y，
感应电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{k{a}^{2}{v}_{y}}{R}$，
安培力：F_安培=BIa=$\frac{Bk{a}^{3}{v}_{y}}{R}$，
方向做匀速直线运动，
由平衡条件得：F+F_安培下=F_安培上，
F=F_安培上-F_安培下=$\frac{（{B}_{上}-{B}_{下}）k{a}^{3}{v}_{y}}{R}$=$\frac{ka×k{a}^{3}{v}_{y}}{R}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{4}{v}_{y}}{R}$，
解得，竖直分速度：v_y=$\frac{FR}{{k}^{2}{a}^{4}}$，
线框的速度大小：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{F}^{2}{R}^{2}}{{k}^{4}{a}^{8}}}$；
（2）线框的最大感应电动势：
E_最大=ka²v_y=$\frac{FR}{k{a}^{2}}$，
闭合线框的最大发热功率：
P=$\frac{{E}_{最大}^{2}}{R}$=$\frac{{F}^{2}R}{{k}^{2}{a}^{4}}$；
答：（1）线框运动足够长时间后速度的大小为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{F}^{2}{R}^{2}}{{k}^{4}{a}^{8}}}$；
（2）闭合线框的最大发热功率为$\frac{{F}^{2}R}{{k}^{2}{a}^{4}}$．

点评 本题中磁场是非匀强磁场，线框四边都切割磁感线，左右两边电动势抵消，所受的安培力也抵消，根据E=BLv分别得到上下两边的电动势，再求总电动势，应用安培力公式、平衡条件与电功率公式可以解题．