Question

13．如图所示，MN、PQ为水平面内平行放置且足够长的固定金属导轨，导轨间距为L，导轨处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．两根完全相同的金属棒a、b垂直MN、PQ放置在导轨上，长均为L、质量均为m、电阻均为R，棒与导轨电接触良好．现对a施加水平向右的恒力F，a由静止开始向右运动，移动距离x时速度为v，此时b开始运动．设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，导轨电阻不计，求：
（1）b开始运动时，回路的电功率P：
（2）a刚拉动时的加速度a₀；
（3）在a移动距离x的过程中，b中产生的电热Q_b．

Answer 1

分析 （1）根据E=BLv、I=$\frac{E}{2R}$、P=IE结合求解回路的电功率P．
（2）b刚开始运动时所受的滑动摩擦力等于安培力，列式可求得滑动摩擦力．a、b受到的滑动摩擦力相同，即可根据牛顿第二定律求解加速度．
（3）根据功能关系求解b中产生的焦耳热Q_b．

解答 解：（1）设b开始运动时，a产生的电势能为E，则：
E=BLv
回路电流为：I=$\frac{E}{2R}$
电功率 P=IE
联立解得回路的电功率为：P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{2R}$
（2）b刚拉动时，f_滑=F_安=BIL
a、b受到的滑动摩擦力相同，则a刚拉动时速度为零，没有感应电流，不受安培力，由牛顿第二定律有：
F-f_滑=ma₀
解得：a₀=$\frac{F}{m}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2mR}$
（3）对a杆由功能关系：$Fx-μmgx=\frac{1}{2}m{v^2}+Q$
对b杆：BIL=μmg
由能量分配关系：$\frac{Q_b}{Q}=\frac{R}{2R}$
解得：${Q_b}=\frac{1}{2}Fx-\frac{{{B^2}{L^2}xv}}{4R}-\frac{1}{4}m{v^2}$
答：（1）b开始运动时，回路的电功率P是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{2R}$；
（2）a刚拉动时的加速度a₀是$\frac{F}{m}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2mR}$；
（3）在a移动距离x的过程中，通过回路的电荷量q和b中产生的焦耳热Q_b是$\frac{1}{2}Fx-\frac{{B}^{2}{L}^{2}xv}{4R}-\frac{1}{4}m{v}^{2}$．

点评 本题比较简单考查了电磁感应与电路、力学知识的结合，解决这类问题的关键是正确分析外电路的结构，熟练推导安培力的表达式和感应电荷量表达式．