Question

我国北方地区近年来遭遇严重的沙尘暴天气，现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动），这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v竖直向下运动时所受的阻力．此阻力可用下式表达f=aρAv²其中a为一系数，A 为沙尘颗粒的截面积，ρ为空气密度．（球体体积V=

4

3

πR³）
（1）若沙粒的密度ρ₅，沙尘颗粒为球形，半径为r，地球表面处空气密度ρ₀，试估算在地面附近上述v的最小值．
（2）假定空气密度ρ随高度h的变化关系为ρ=ρ₀（1-Ch）其中ρ₀为h=0处的空气密度，C为一常量，试估算当v=v₀、扬沙稳定时的最大高度．（不考虑g随高度的变化）

Answer 1

分析：（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡．应用平衡条件列式即可．
（2）设出最大高度h，表示出此处空气密度，再由平衡条件列式计算即可．

解答：解：（1）沙粒悬浮在空中，所受阻力与重力平衡，即：
mg=f…①
m=ρ_sV=ρ_s

4

3

πr³…②
f=aρ₀Avmin2=aρ₀πr²vmin2…③
v_min=

4ρsrg 3aρ0

…④
（2）由于高度增加，空气密度减小，故当速度为 v₀时，随着沙粒的上升，沙粒所受阻力减小，当沙粒所受阻力与重力平衡时，沙粒悬浮在空中不再上升，此时扬沙高度最大：
mg=f 
m=ρ_sV=

4

3

πr³
f=aρ₀（1-ch_m）Av02…⑤
得：h_m=

1

C

（1-

4rρsg

3av02ρ0

）…⑥
答：（1）在地面附近上述v的最小值为

4ρsrg 3aρ0

．
（2）当v=v₀、扬沙稳定时的最大高度为得：

1

C

（1-

4rρsg

3av02ρ0

）．

点评：本题为一个理论联系实际的题目，核心是平衡条件的应用，但关键是怎样把题目中的情景与学习的理论知识联系在一起．