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4.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因万有引力的作用吸引到一起.设二者的质量分别为m1和m2,二者相距为L,求:
(1)该双星系统中两颗星的轨道半径;
(2)该双星系统的运行的角速度.

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力,抓住角速度相等,向心力相等求出轨道半径之比,结合二者相距为L,求出两颗星的轨道半径;
根据万有引力提供向心力求出角速度的大小.

解答 解:(1)这两颗星万有引力提供向心力,有:
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m1ω2R1…①
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m2ω2R2…②
①②两式相除,得:$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$.
又因为R1+R2=L,所以有:
R1=$\frac{{m}_{2}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$,R2=$\frac{{m}_{1}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$
(2)两星的角速度相同,则:
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m1ω2R1 …③
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m2ω2R2…④
③式消去m1,④式消去m2得:
$G\frac{{{m_1}+{m_2}}}{{{L^{{2^{\;}}}}}}={ω^2}({R_1}+{R_2})={ω^2}_{\;}L$
解得:ω=$\sqrt{\frac{G{(m}_{1}{+m}_{2})}{{L}^{3}}}$.
答:(1)该双星系统中两颗星的轨道半径分别是$\frac{{m}_{2}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$,$\frac{{m}_{1}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$;
(2)该双星系统的运行的角速度是$\sqrt{\frac{G{(m}_{1}{+m}_{2})}{{L}^{3}}}$.

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统,知道它们靠相互间的万有引力提供向心力,向心力的大小相等,角速度的大小相等.

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