Question

3．如图所示，一质量M=2m、长为l=6.5R的木板P静止在光滑水平面上，在其右侧有一固定平台Q，Q的左端与P等高，Q上固定一高度大于R的光滑斜面，斜面底边与Q水平相切．P最左端与一半径为R的$\frac{1}{4}$光滑、固定圆弧最低端相切．两质量均为m、可看成质点的滑块甲和乙，将乙置于P的最左端，甲于左端圆弧顶端B处以v₀=$\sqrt{7gR}$的初速度竖直向下滑出，当甲滑到斜面底端时与乙发生完全弹性碰撞，求：
（1）滑块到达圆弧最低端时对A点的压力；
（2）甲与乙碰撞后的速度各是多？
（3）乙滑块滑出后，P在乙滑块的作用下向右运动，运动到Q左端时被牢固粘连，已知P右端到木块Q的距离L满足R＜L＜5R，乙滑块与P的动摩擦因数μ=0.5，试讨论滑块滑上右端的斜面后能上升的高度h．

Answer 1

分析 （1）滑块甲在圆弧上下滑的过程中，只有重力做功，运用动能定理求出滑块甲滑到A点的速度大小．在A点，由合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出支持力的大小．再得到滑块甲对轨道的压力．
（2）当甲滑到斜面底端时与乙发生完全弹性碰撞，根据动量守恒定律和动能守恒列式，求出碰后两者的速度．
（3）滑块乙在P上滑行的过程，根据动量守恒定律求出滑块乙和P达到的共同速度，结合动能定理分别求出滑块乙和P的位移大小，判断出滑块乙与P达到相同速度时，是否离开P，从而得到P到Q左端时被牢固粘连时乙的速度，再由机械能守恒定律求滑块滑上右端的斜面后能上升的高度h．

解答 解：（1）设滑块甲刚滑到A点时的速度为v₁，根据动能定理有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 v₁=3$\sqrt{gR}$．
 在A点，根据牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：F_N=10mg．
根据牛顿第三定律得滑块乙到达圆弧最低端时对A点的压力是10mg．
（2）当甲滑到斜面底端时与乙发生完全弹性碰撞，设碰后甲、乙两滑块的速度分别为v₂和v₃．
取向右为正方向，根据动量守恒定律和动能守恒分别得：
mv₁=mv₂+mv₃．
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₃²．
解得：v₂=0，v₃=v₁=3$\sqrt{gR}$．
（3）滑块乙滑上木板P后开始做匀减速运动，P开始做匀加速直线运动，假设两者达到的共同速度为v₄．规定v₃的方向为正方向，根据动量守恒定律得：
mv₃=（m+M）v₄，
解得：v₄=$\sqrt{gR}$．
对滑块乙，根据动能定理有：-μmgl₁=$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
对木板P，根据动能定理有：μmgl₂=$\frac{1}{2}$Mv₄²-0，
解得：l₁=8R，l₂=2R，
物块相对滑板的位移△l=l₂-l₁＜l，
即物块与滑板达到相同速度时，物块未离开滑板，
讨论：
①当R＜L＜2R，滑块乙在P上一直匀减速运动至，运动的位移为6.5R+L，
设乙滑至Q时速度为v_Q，根据动能定理有：-μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv₃²，
滑块滑上右端斜面的过程，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_Q²=mgh
解得：$\frac{1}{4}$R＜h＜$\frac{3}{4}$R．
②当2R≤L＜5R，滑块乙先匀减速运动8R，然后匀速运动L-2R，再匀减速运动0.5R，设滑上Q时的速度为v_Q′
根据动能定理有：-μmg（8R+0.5R）=$\frac{1}{2}$mv_Q′²-$\frac{1}{2}$mv₃²，
滑块滑上右端斜面的过程，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_Q′²=mgh
解得：h=$\frac{35}{4}$R．
答：（1）滑块到达圆弧最低端时对A点的压力是10mg；
（2）甲与乙碰撞后的速度各是0和3$\sqrt{gR}$．
（3）当当R＜L＜2R时得 $\frac{1}{4}$R＜h＜$\frac{3}{4}$R．②当2R≤L＜5R，h=$\frac{35}{4}$R．

点评 本题的关键要理清滑块的运动过程，判断滑块乙与P木板在达到相同共同速度时，滑块未离开P木板是关键．