Question

质量为m边长为l的正方形线框，从有界的匀强磁场上方由静止自由下落，线框电阻为R，匀强磁场的宽度为H（H＞l），磁感强度为B，线框下落过程中ab边与磁场界面平行．已知ab边刚进入磁场和刚穿出磁场时都作减速运动，加速度大小均为a=g/3．试求：
（1）ab边刚进入磁场时，线框的速度；
（2）cd边刚进入磁场时，线框的速度；
（3）线框经过磁场的过程中产生的热能．

Answer 1

分析：（1）ab边刚进入磁场时线框做减速运动，已知加速度，由安培力公式F=

B2l2v

R

，运用牛顿第二定律可求出此时线框的速度．
（2）由于ab边刚进入磁场和刚穿出磁场时都作减速运动，加速度大小相等，则知ab边刚进入磁场和刚穿出磁场时速度相等．从cd边刚进入磁场到ab边刚穿出磁场过程，穿过线框的磁通量不变，没有感应电流产生，不受安培力，机械能守恒，即可求出cd边刚进入磁场时线框的速度；
（3）从线框开始下落到整个线框全部穿出磁场的过程，减少的机械能全部转化为电能．由能量守恒定律求解热能．

解答：解：（1）设所求速度为v₁，对线框有：
   F-mg=ma=

1

3

mg   ①
  F=BIL=BL

E

R

=

B2l2v1

R

   ②
由①、②得：v₁=

4mgR

3B2l2

     ③
（2）由题分析可知，ab边刚进入磁场和刚穿出磁场时速度相等，设cd边刚进入磁场时，线框的速度为v₂，从cd边刚进入磁场到ab边刚穿出磁场，机械能守恒，则对线框有：
  mg（H-l）=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

    ④
由③、④得：v₂=

16m2g2R2 9B4l4 -2g(H-l)

⑤
（3）从线框开始进入磁场到完全穿出磁场，减少的机械能全部转化为电能．
减少的动能为：△E_k=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

=mg（H-l），
减少的重力势能为：△E_p=mg（H+l） ⑥
产生的热能为：E_电=△E_k+△E_p=2mgH．
答：
（1）ab边刚进入磁场时，线框的速度为

4mgR

3B2l2

；
（2）cd边刚进入磁场时，线框的速度为

16m2g2R2 9B4l4 -2g(H-l)

；
（3）线框经过磁场的过程中产生的热能为2mgH．

点评：本题首先要正确分析线框的运动情况，会推导安培力的表达式，把握能量是如何转化的．