Question

（22分）如图所示，AB是两块竖直放置的平行金属板，相距为2L，分别带有等量的正、负电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场。A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔中有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为q(q>0)的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处。一自然长度为L的轻弹簧左端固定在距A板左侧L处挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q。撤去外力释放带电小球，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能。小球从接触Q开始，经过一段时间第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回。由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的1/k (k>l)。求：

(l)弹簧第一次压缩到最左边时的弹性势能；

(2)小球在与B板相碰之前，最多能与薄板Q碰撞多少次；

(3)设A板的电势为零，当k=2、且小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力F_J=时，求带电小球初、末状态的电势能变化量。

Answer 1

（22分）

（1）当P由静止开始释放到弹簧第一次压缩到最左边的过程中根据能的转化和守恒定律可得弹性势能：E_P=qEL（6分）

（2）分析知：小球每次离开Q时的速度大小相同，等于小球第一次与Q接触时速度大小v，根据动能定理可得：qEL=（2分）

设小球与薄板Q碰撞n次后恰好向右运动到B板，则：q_n(2分)

小球与薄板Q碰撞n次后向右运动从与Q分离到恰好到达B板的过程中，根据动能定理可得：-（2分）

由以上几式可得：（或取的整数）（2分）

（3）设小球第一次弹回两板间后向右运动最远距A板的距离为L₁，则：

（2分）

设小球第2次弹回两板间后向右运动最远距A板的距离为L₂，则：

（2分）

而此时电场力：，即带电小球可保持静止。（2分）

所以带电小球初、末状态的电势能变化量：（2分）