Question

5．两个正电荷q₁和q₂在某直角坐标下的位矢为r₁和r₂，将一负电荷q₃置于某一位置，使作用在这三个电荷上的静电力都等于零，求q₃的电量和位矢r₃．

Answer 1

分析 解决本题一定要把握“每个电荷都处于平衡状态”这一特点进行分析，已知两个正电荷q₁和q₂和负电荷q₃，可以利用“两同夹异，近小远大”（三个电荷处于平衡时两边电性相同和中间相反，中间电荷离电量小的近，离电量大的远）进行判断．三个电荷处于同一直线上，每个电荷受两个库仑力作用处于平衡状态，据此列方程即可求解．$\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}$

解答 解：已知两个正电荷q₁、q₂和负电荷q₃，根据“两同夹异，近小远大”可知q₃一定位于q₁和q₂连线的中间的某一处，
设q₁、q₂和q₃的坐标分别为：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
则q₃在q₁和q₂连线的中间的合场强等于0的地方，
设负电荷到q₁和q₂的距离分别是L₁和L₂，则：
${L}_{1}+{L}_{2}=\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
由点电荷产生的场强的公式：$E=\frac{kq}{{r}^{2}}$得：
$\frac{k{q}_{1}}{{L}_{1}^{2}}=\frac{k{q}_{2}}{{L}_{2}^{2}}$
所以：$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}=\sqrt{\frac{{q}_{2}}{{q}_{1}}}$
联立得：${L}_{1}=\frac{\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
由几何关系可得：${x}_{3}={x}_{1}+{L}_{1}•\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}}$=${x}_{1}+\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
同理：${y}_{3}={y}_{1}+\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
把的位置写成矢量，代入x得到两个解：${r}_{31}={r}_{1}+（{r}_{2}-{r}_{1}）•\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}$=$\frac{{q}_{2}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}$$+\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$
或：${r}_{32}={r}_{1}+（{r}_{2}-{r}_{1}）•\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}$=$\frac{{q}_{2}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$
答：q₃的电量和位矢是$\frac{{q}_{2}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$或$\frac{{q}_{2}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$

点评 本题考察了库仑定律在电荷平衡中的应用，对于三个电荷平衡可以利用“两同夹异，近小远大”的规律进行电性判断，本题的难点在于计算，学生列出方程容易，但是计算正确难．