Question

20．如图所示，在圆形区域中圆心角为30°的扇面MON之外分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电量为-q的粒子，自圆心O点垂直于OM以速度v射入磁场，粒子恰能两次经过边界OM，不计粒子重力．
（1）粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径r
（2）求粒子从O点射入到第一次穿过边界ON的过程中，在磁场中运动的时间t
（3）若粒子第二次经过边界OM时，恰好经过该边界上的P点，求P点到ON的距离h
（4）若圆形区域无限大，现保持其它条件不变而将∠MON变为15°，粒子从O点射出后穿越磁场边界ON和OM的总次数．

Answer 1

分析 （1）粒子，进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求轨道半径r．
（2）粒子从O点射入到第一次穿过边界ON的过程中，偏转角θ=120°，根据t=$\frac{θ}{360°}$T求时间t．
（3）画出粒子的运动轨迹，由几何关系求解P点到ON的距离h．
（4）将∠MON变为15°，首次从ON边界向下穿出时与之夹角为75°，首次向上穿出OM时与之夹角为60°，每次从边界向扇面区穿出，均比上次夹角减小15°，直到向上穿出时，与ON夹角为15°，不再进入磁场，可得到穿越边界的次数为9次．

解答 解：（1）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得 r=$\frac{mv}{qB}$
（2）粒子第一次穿过边界ON时，偏转角θ=120°
则粒子在磁场中运动的时间 t=$\frac{θ}{360°}$T，其中T=$\frac{2πm}{qB}$
解得：t=$\frac{2πm}{3qB}$．
（3）粒子在磁场中运动轨迹如图所示：
在△O₁AB中，O₁B=$\frac{{O}_{1}A}{sin30°}$=2r
在△O₂PB中，PB=2PC=2rsin30°=r
所以：O₁P=O₁B-PB=r，OP=OO₁+OP=2r
P点到ON的距离 h=OPsin30°=r=$\frac{mv}{qB}$
（4）∠MON变为15°，首次从ON边界向下穿出时与之夹角为75°，首次向上穿出OM时与之夹角为60°，每次从边界向扇面区穿出，均比上次夹角减小15°，直到向上穿出时，与ON夹角为15°，不再进入磁场，故穿越边界的次数为9次．
答：（1）粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径r为$\frac{mv}{qB}$．
（2）粒子从O点射入到第一次穿过边界ON的过程中，在磁场中运动的时间t为$\frac{2πm}{3qB}$．
（3）若粒子第二次经过边界OM时，恰好经过该边界上的P点，P点到ON的距离h为$\frac{mv}{qB}$．
（4）若圆形区域无限大，现保持其它条件不变而将∠MON变为15°，粒子从O点射出后穿越磁场边界ON和OM的总次数为9次．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，难度较大，过程复杂，关键在于用运动轨迹图来寻找几何关系，确定长度及角度，将复杂运动形成规律进行简化解决．