Question

12．2008年9月25日21时10分，神舟七号飞船成功发射，共飞行2天20小时27分钟，绕地球飞行45圈后，于9月28日17时37分安全着陆．航天员翟志刚着“飞天”舱外航天服，在刘伯明的配合下，成功完成了空间出舱活动，进行了太空行走．出舱活动结束后，释放了伴飞卫星，并围绕轨道舱进行伴飞实验．神舟七号是由长征-2F运载火箭将其送入近地点为A，远地点为B的椭圆轨道上，实施变轨后，进入预定圆轨道，其简化的模拟轨道如图所示．假设近地点A距地面高度为h，飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用的时间为t，地球表面的重力加速度为g，地球半径R，试求：
（1）飞船在近地点A的加速度a_A大小；
（2）飞船在预定圆轨道上飞行的速度v的大小．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力与万有引力相等，卫星绕地球圆周运动万有引力提供圆周运动向心力据此求解A处加速度；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力由卫星的周期求得速度．

解答 解：（1）设地球质量为M，飞船质量为m．
飞船在A点：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m{a_A}$
对地面上质量为m₀的物体：$G\frac{{M{m_0}}}{R^2}={m_0}g$
解得：${a_A}=\frac{R^2}{{{{（R+h）}^2}}}g$
（2）飞船在预定圆轨道上飞行的周期：$T=\frac{t}{n}$
设预定圆轨道半径为r，则有：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
又$v=\frac{2πr}{T}$
由以上几式解得：$v=\root{3}{{\frac{{2πng{R^2}}}{t}}}$
答：（1）飞船在近地点A的加速度a_A大小为$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$；
（2）飞船在预定圆轨道上飞行的速度v的大小为$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．

点评 万有引力应用主要从以下两点入手：一是星球表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．