Question

15．2014年5月10日天文爱好者迎来了“土星冲日”的美丽天象．“土星冲日”是指土星和太阳正好分处地球的两侧，三者几乎成一条直线．若土星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨迹都近似为圆．设土星公转周期为T₁，公转半径为R₁；地球公转周期为T₂，公转半径为R₂，万有引力常量为G．忽略土星与地球之间的引力作用，从发生“土星冲日”天象开始计时，下列说法正确的是（　　）

• A． 土星公转速度大于地球公转速度
• B． 太阳的质量为$\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
• C． 地球与土星相距最近经历的时间至少为$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$
• D． 土星与地球公转的向心加速度之比为$\frac{{{R}_{1}}^{2}}{{{R}_{2}}^{2}}$

Answer 1

分析 根据环绕速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，列式比较线速度大小；两次发生“土星冲日”的美丽天象的时间内，地球多转动1圈；对地球，根据万有引力等于向心力列式求解太阳的质量；根据万有引力等于向心力列式求解加速度之比．

解答 解：A、地球和土星均绕太阳做匀速圆周运动，根据环绕速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，轨道半径越大，线速度越小，故土星公转速度小于地球公转速度，故A错误；
B、地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：G$\frac{Mm}{{R}_{2}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{R}_{2}$，得太阳的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$，故B错误；
C、两次发生“土星冲日”的美丽天象的时间内，地球多转动1圈，故：
（ω₁-ω₂）t=2π
即：（$\frac{2π}{{T}_{2}}$-$\frac{2π}{{T}_{1}}$）t=2π
解得：t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．故C正确；
D、根据G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=ma，有：a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$∝$\frac{1}{{R}^{2}}$，故土星与地球公转的向心加速度之比为：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}}$，故D错误；
故选：C．

点评 本题是万有引力与圆周运动知识相综合的问题，关键是明确行星的动力学原理，根据万有引力等于向心力和向心力的不同表达形式列式分析．