Question

如图所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电阻为r、长度也刚好为L的导体棒ab垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d₀．现用一个水平向右的力F拉棒ab，使它由静止开始运动，棒ab离开磁场前已做匀速直线运动，棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，F随ab与初始位置的距离x变化的情况如图，F₀已知．求：
（1）棒ab离开磁场右边界时的速度．
（2）棒ab通过磁场区域的过程中整个回路产生的焦耳热．
（3）试证明：棒ab通过磁场区域的过程中，通过电阻R的电量与拉力F的大小无关．

Answer 1

分析：（1）由题，棒ab离开磁场右边界前已经做匀速运动，外力与安培力达到平衡．由法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，由图读出外力的大小，即可由平衡条件列式求出速度．
（2）在ab棒运动的整个过程中，外力与安培力做功引起动能变化，分析动能定理列式求出棒克服安培力做功，即等于整个回路产生的焦耳热．
（3）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和电量公式q=I△t结合进行证明．

解答：解：（1）设离开右边界时棒ab速度为υ，则有
感应电动势 ?=BLv
感应电流 I=

ε

R+r

因棒匀速运动，则有：2F₀-BIL
解得：v=

2F0(R+r)

B2L2

（2）棒在开始运动d₀位移的过程中做功 W1=

F0+2F0

2

d0
在ab棒运动的整个过程中，根据动能定理得：
  W1+2F0d+W安=

1

2

mυ2-0
由功能关系：E_电=-W_安
联立解得：E_电=F₀（

3

2

d0+2d）-

2m F 2 0 (R+r)2

B4L4

．
（3）根据法拉第电磁感应定律有 E=

△?

△t

=

Bld

△t

，
由闭合电路欧姆定律有 I=

E

R+r

则通过电阻R的电量 q=I△t=

Bld

R+r

则知通过电阻R的电量与拉力F的大小无关．
答：
（1）棒ab离开磁场右边界时的速度为

2F0(R+r)

B2L2

．
（2）棒ab通过磁场区域的过程中整个回路产生的焦耳热为F₀（

3

2

d0+2d）-

2m F 2 0 (R+r)2

B4L4

．
（3）证明略．

点评：本题关键要结合棒的运动状态，根据平衡条件和动能定理分析处理，关键要会推导安培力与速度的关系，知道克服安培力做功等于焦耳热．