Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量为m=0.1kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块通过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道．g=10m/s²，求：
（1）物块平抛的水平距离
（2）物块从B点运动到P点的时间
（3）物块能否到达M点，说明理由．

Answer 1

分析：（1）物块离开D点做平抛运动，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，知道了到达P点的速度方向，将P点的速度分解为水平方向和竖直方向，竖直方向上做自由落体运动，运用位移公式和速度公式得出时间和竖直分速度，再根据角度关系求出水平分速度，即离开D点时的速度v_D，即可求得平抛的水平距离．
（2）将x=6t-2t²，与匀变速直线运动的位移公式x=v₀t+

1

2

at2进行比对，得到物块通过B点后的初速度和加速度，由速度公式即可求得从B到D的时间，即可求得从B点运动到P点的时间．
（3）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，有mg=m

v 2 M

R

，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．

解答：解：（1）依题意可知，平抛经过P点时速度与水平方向夹角为45°．
由tan45°=

vy

vx

 平抛运动竖直方向上做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则有
   v_x=v_D，v_y=gt₁
   s=v_Dt，R=

1

2

gt₁²
解得物体平抛的时间t₁=

2R g

=

2×0.8 10

=0.4s，
竖直分速度 v_y=gt₁=4m/s  
平抛水平初速度 v_D=4m/s
平抛水平距离s=1.6m              
将x=6t-2t²，与匀变速直线运动的位移公式x=v₀t+

1

2

at2进行比对，由可知物体经过B点速度 v_B=6m/s，由B运动到D的加速度大小为a=-4m/s²．
又 v_D=4m/s
故物体由B运动到D的时间t2=

vD-vB

a

=

4-6

-4

s=0.5s
物体由B运动到P的时间    t=t₁+t₂=0.9s
（3）由（1）可知，物体经过P点的速度大小 v_P=

2

vD=4

2

m/s
假设物体能经过M点，由动能定理得
-mg（R+Rcos45°）=

1

2

mv_M²-

1

2

mv_P²
 解得v_M=

16-8 2

m/s
设物体能经过M点的临界速度为v_min，则有mg=m

v 2 min

R

可知   v_min=2

2

 m/s
因v_M＜v_min，可知物体无法经过M点
答：
（1）物块平抛的水平距离是1.6m．
（2）物块从B点运动到P点的时间是0.9s．
（3）物块不能到达M点．

点评：该题是平抛运动、圆周运动的综合题，该题中要熟练掌握机械能守恒定律，能量守恒定律，以及圆周运动的临界问题．