Question

（12分）如图所示，是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除AB部分粗糙（μ=0.125）外，其余均光滑，AB斜面与水平面夹角为37⁰。一挑战者质量为m=60kg，沿斜面轨道滑下，然后滑入第一个圆形轨道（轨道半径R=2m），不计过B点时的能量损失，根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通过计算机显示出来。挑战者到达C处时刚好对轨道无压力，又经过水平轨道滑入第二个圆形轨道（轨道半径r=1.6m），然后从平台上飞入水池内，水面离轨道的距离为h=5m。g取10m/s²，人在运动全过程中可视为质点。求：

（1）在第二个圆形轨道的最高点D处挑战者对轨道的压力大小

（2）挑战者若能完成上述过程，则他应从离水平轨道多高的地方开始下滑

（3）挑战者入水时的速度大小是多少？方向如何？

Answer 1

解：（1）在C点无压力则 mg=mv_C²/R    

由C到D动能定理得 mg(2R-2r)=mv_D²/2- mv_C²/2

D点牛顿第二定律得 N+mg= mv_D²/r

联立方程得 N=750N

由牛顿第三定律得到人对轨道的压力N^/=750N

（2）B到C动能定理得-mg2R=mv_C²/2- mv_B²/2

得v_B=10m/s

对斜面上的物体受力分析得 mgsin37⁰-μmgcos37⁰=ma

A到B运动学方程 v_B²=2aS_AB

由几何关系得 H=S_AB sin37⁰

联立方程得 H=6m

（3）设落水点为E，落水时，竖直方向v_竖直²=2gh

代入数据得 v_竖直=10m/s

水平方向速度大小为v_B不变

勾股定理得 v_E=10m/s

落水时竖直速度大小等于水平速度的大小，故速度方向与水平方向的夹角为45⁰