Question

9．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界是半径为R的圆，AB为圆的直径．在A点有一粒子源向圆平面内（垂直于磁场）发射质量m、电量-q的粒子，粒子重力不计．
（1）如图甲所示，若粒子向圆平面内的各个方向发射，速率均为v₁=$\frac{5qBR}{3m}$．求粒子在磁场中运动的最长时间．
（2）如图乙所示，在过B点且垂直于AB方向放置一个很大的屏．若粒子仅沿AB连线方向持续发射，速率均为v₂=$\frac{2qBR}{m}$．与此同时，以过A点并垂直于纸面的直线为轴，将磁场顺时针缓慢旋转90°．随着磁场转动，粒子打到屏上的位置会发生变化．求粒子打到屏上的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子做匀速圆周运动，速度大小一定，故轨道半径一定，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径；当轨迹对应的圆弧最长时，粒子的运动时间最长；
（2）当磁场在实线区域时，画出运动轨迹，得到打在荧光屏上的位置，设为C点；当磁场在虚线区域时，粒子做匀速直线运动，直接打在B点；则BC间距即为粒子打到屏上的范围．

解答 解：（1）粒子做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，故：
$q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{5}{3}R$
过直径的弦对应最长时间，如图所示：
结合几何关系，轨迹对应圆心角为：α=2arcsin$\frac{R}{r}$=74°
故运动的最长时间为：t_max=$\frac{74°}{360°}T$=$\frac{74°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{37πm}{90qB}$
（2）粒子仅沿AB连线方向持续发射，速率均为v₂=$\frac{2qBR}{m}$，洛仑兹力提供向心力，故：
$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=2R$
画出运动轨迹，如图所示：
θ=arctan$\frac{R}{{r}_{2}}=\frac{1}{2}$=26.6°
故α=2θ=53°
BC=Rtanα=$\frac{4}{3}R$
答：（1）粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{37πm}{90qB}$；
（2）粒子打到屏上的范围为B点下方$\frac{4}{3}R$的区域．

点评 本题关键是明确粒子做圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径，再结合几何关系列式分析，不难．