Question

19．如图所示，在纸面内水平向右的水平匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场中，有一水平的固定绝缘杆，小球P套在杆上，小球P套在杆上，P的质量为m，电量为-q，P与杆间的动摩擦因数为μ，电场强度为E，磁感应强度为B，重力沿纸面向下，小球由静止起开始滑动，设电场、磁场区域足够大，杆足够长．在运动过程中小球最大加速度为a₀，最大速度为v₀，则下列判断正确的是（　　）

• A． 当a=$\frac{1}{2}$a₀时小球的加速度一定增大
• B． 当v=$\frac{1}{2}$v₀时小球的加速度一定减小
• C． 当a=$\frac{1}{2}$a₀时小球的速度v与v₀之比$\frac{v}{{v}_{0}}$一定大于$\frac{1}{2}$
• D． 当v=$\frac{1}{2}$v₀时小球的加速度a与a₀之比$\frac{a}{{a}_{0}}$一定大于$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先对小球进行受力分析，结合洛伦兹力的大小与方向，然后根据牛顿第二定律，求得最大加速度；当小球受力平衡时速度最大，从而即可求解．

解答 解：对小球受力分析，当静止时，电场力水平向左，重力竖直向下，支持力竖直向上与水平向右的摩擦力，水平方向：ma=qE-F_f；此时：a=$\frac{qE}{m}-μg$
当速度增大时，导致洛伦兹力增大，根据左手定则可知，洛伦兹力的方向向上，所以随速度的增大洛伦兹力增大时，则支持力减小，从而使得滑动摩擦力F_f减小，小球的加速度增大，小球做加速度增大的加速运动；
当洛伦兹力与重力大小相等时，小球的加速度最大，则小球的加速度为：a₀=$\frac{qE}{m}$．
速度继续增大，则洛伦兹力大于重力，支持力的方向变成向下，加速度随速度的增大开始减小，小球做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，则小球达到最大速度，做匀速直线运动，此时有：
qE=μ（qv₀B-mg） 
最大速度为：v₀=$\frac{mg+\frac{qE}{μ}}{Bq}$
A、由以上的分析可知，小球先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动．当a=$\frac{1}{2}$a₀时小球的加速度可能减小，有可能增大．故A错误；
B、由开始时的分析可知，小球开始时从加速度等于$\frac{qE}{m}-μg$开始做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动到匀速直线运动，由运动的对称性可知，当小球的加速度最大时，小球的速度还不到$\frac{1}{2}{v}_{0}$，所以当当v=$\frac{1}{2}$v₀时小球的加速度一定减小．故B正确；
C、由于当a=$\frac{1}{2}$a₀时小球的加速度可能减小，有可能增大，所以当a=$\frac{1}{2}$a₀时小球的速度v与v₀之比$\frac{v}{{v}_{0}}$可能小于$\frac{1}{2}$，有可能大于$\frac{1}{2}$．故C错误；
D、由分析知，当小球的加速度a=a₀=$\frac{qE}{m}$时，小球的速度还不到$\frac{1}{2}{v}_{0}$，所以当v=$\frac{1}{2}$v₀时小球的加速度a一定小于a₀，当速度等于$\frac{1}{2}$v₀时 qE-μ（qVB-mg）=ma
即ma₀-μ（$\frac{1}{2}$qBv₀-mg）=ma₀-$\frac{m{a}_{0}（\frac{1}{2}qB{v}_{0}-mg）}{qB{v}_{0}-mg}$=ma 所以a=$\frac{{a}_{0}qB{v}_{0}}{2（qB{v}_{0}-mg）}$

即$\frac{a}{{a}_{0}}=\frac{qB{v}_{0}}{2（qB{v}_{0}-mg）}$＞$\frac{1}{2}$．故D正确．
故选：BD

点评 考查小球在复合场中的运动；解答的关键是如何对物体受力分析，理解牛顿第二定律的应用，抓住滑动摩擦力等于零时，加速度最大．而合力为零时，速度最大．注意洛伦兹力与速度的存在紧密联系．