Question

20．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内，两个质量均为m的小球A、B，以不同的初速度进入管内，A通过最高点时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg，求A、B两球落地点之间的距离．

Answer 1

分析 A球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向下，大小为3mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出A球在最高点速度．
B球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向上，大小为0.75mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出B球在最高点速度．
两球从最高点飞出后均做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度2R求出运动时间．水平方向做匀速直线运动，由速度和初速度求解水平位移，A、B两球落地点间的距离等于位移之差．

解答 解：以A球为对象，设其到达最高点时的速度为v_a，根据向心力公式有：
mg+F_a=m$\frac{{{v}_{a}}^{2}}{R}$
F_a=3mg
代入解得：v_a=2$\sqrt{gR}$
以B球为对象，设其到达最高点时的速度为v_b，根据向心力公式有：
mg-F_b=m$\frac{{{v}_{b}}^{2}}{R}$
又F_b=0.75mg
即：$\frac{1}{4}$mg=m$\frac{{{v}_{b}}^{2}}{R}$
所以：v_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$
A、B两球脱离轨道的最高点后均做平抛运动，所以A、B两球的水平位移分别为：
s_a=v_at=2$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=4R
s_b=v_bt=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=R
故A、B两球落地点间的距离为：△s=s_a-s_b=4R-R=3R．
答：A、B两球落地点间的距离是3R．

点评 本题是向心力知识和平抛运动的综合应用，常规题，关键是明确运动形式后选择相应的运动规律．