Question

8．如图所示，将直径为2R的半圆形导轨固定在竖直面内的A、B两点，直径AB与竖直方向的夹角为60°．在导轨上套一质量为m的小圆环，原长为2R、劲度系数k=$\frac{mg}{8R}$的弹性轻绳穿过圆环且固定在A、B两点．已知弹性轻绳产生的弹力和弹性势能与轻弹簧规律相同，重力加速度为g，不计一切摩擦．将圆环由A点正下方的C点静止释放，当圆环运动到导轨的最低点D点时，求
（1）比较圆环在C、D两点时弹性轻绳具有的弹性势能大小关系．
（2）圆环的速率v；
（3）导轨对圆环的作用力F的大小？

Answer 1

分析 从C到D过程，由机械能守恒定律可以求出圆环的速度；圆环做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出在D点轨道对圆环的作用力．

解答 解：（1）如图所示，由几何知识得，圆环在C点、D点时，弹性绳形变量相同，弹性势能相等；
 
（2）由机械能守恒定律，有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由几何关系可知：
h=$\frac{R}{2}$                     
解得：v=$\sqrt{gR}$
（3）圆环在D点受力如图，弹性绳的弹力f=kx，其中x=（$\sqrt{3}-1$）R
由牛顿第二定律，有：
F_N+fcos60°-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=$\frac{15}{8}mg$
答：（1）圆环在C、D两点时弹性轻绳具有的弹性势能大小相等；
（2）圆环的速率v为$\sqrt{gR}$；
（3）导轨对圆环的作用力F的大小为$\frac{15}{8}mg$．

点评 本题考查了求圆环的速率、轨道对圆环的作用力，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；本题的难点，也是本题解题的关键是：应用数学知识气促C、D两点间的高度差、求出弹性绳的形变量．