Question

16．如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有沿-y方向的匀强电场，在第四象限内有沿+y方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，且电场强度大小与第一象限相同．现有一质量为m，带电量为+q的质点，以某一初速度沿-x方向从坐标为（31，1）的P点开始运动，第一次经过x轴的点为Q点，Q点的坐标为（l，0），经过匀速圆周运动后第二次过x轴的点为坐标原点．若质点运动的初动能为2mgl，求：
（1）粒子经过Q点时的速率v和电场强度E的大小；
（2）粒子在第四象限运动的时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子在电磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力合力为零，由平衡条件求出电场强度；应用动能定理求出粒子的速度；
（2）电场中，由运动学公式和牛顿第二定律结合求时间．磁场中，根据轨迹的圆心角求出时间．

解答 解：（1）带电质点从第一次经过x轴到第二次过x轴做匀速圆周运动，故重力与电场力平衡．
由平衡条件得：qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$  ①
从P点到Q点，由动能定理得：
（mg+qE）l=$\frac{1}{2}$mv²-2mgl  ②
解得：v=2$\sqrt{2gl}$   ③
（2）设其初速度为v₀，初动能：$\frac{1}{2}$mv₀²=2mgl，
解得：v₀=2$\sqrt{gl}$   ④
设带电质点在Q点时速度与x轴夹角为θ，cosθ=$\frac{{v}_{0}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：θ=45°  ⑤
由几何关系可得：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l  ⑥
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ⑦
解得：B=$\frac{4m}{q}$$\sqrt{\frac{q}{l}}$，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$ ⑧
粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{8}$$\sqrt{\frac{l}{g}}$；
答：（1）粒子经过Q点时的速率v为2$\sqrt{2gl}$，电场强度E的大小为$\frac{mg}{q}$；
（2）粒子在第四象限运动的时间t为$\frac{π}{8}$$\sqrt{\frac{l}{g}}$．

点评 本题考查了粒子在复合场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的前提与关键，应用平衡条件、动能定理与牛顿第二定律可以解题；粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定各量之间的关系．