Question

如图甲所示，两平行金属板长度l=0.2m，两板间电压U随时间t变化的图象如图乙所示．在金属板右侧有一左边界为MN的匀强磁场，磁感应强度B=0.01T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子连续不断地以速度v₀=10⁵m/s射入电场中，初速度方向沿两板间的中线OO′方向．磁场边界MN与中线OO′垂直．已知带电粒子的比荷q/m=10⁸C/kg，粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略不计．

（1）在每个粒子通过电场区域的时间内，可以把板间的电场强度看作是恒定的．请通过计算说明这种处理的合理性；
（2）设t=0.1s时刻射入电场的带电粒子恰能从金属板边缘穿越电场射入磁场，求该带电粒子射出电场时速度的大小；
（3）对于所有经过电场射入磁场的带电粒子，设其射入磁场的入射点和从磁场射出的出射点间的距离为d，试通过推理判断d的大小是否随时间变化？

Answer 1

分析：（1）粒子在垂直电场方向做匀速直线运动，求出粒子在电场中的运动时间，与电压变化的周期比较确定电场强度能视为恒定．
（2）根据偏转的电压得出出射点和入射点间的电压，根据动能定理求出粒子射出电场时的速度大小．
（3）抓住粒子在垂直电场方向上的速度不变，根据平行四边形定则求出粒子进入磁场时的速度，通过半径公式和几何关系求出进入磁场的入射点和出射点的距离，从而进行判断．

解答：解：（1）带电粒子在金属板间运动的时间为
  t=

l

v0

=

0.2

105

s=2×10^-6s
电压U变化周期 T=0.2s；
由于t远小于T，故在粒子通过电场的时间内板间电压变化极小，板间电场可视为恒定不变．
（2）t=0.1s时刻偏转电压 U=100V
由动能定理得：

1

2

qU=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

解得：v₁=1.41×10⁵m/s
（3）设某时刻射出电场的粒子速度为v，速度方向与OO′夹角为θ，则
 v=

v0

cosθ

粒子在磁场中有 qvB=

mv2

R

由几何关系得：d=2Rcosθ
由以上各式解得：d=

2mv0

qB

=0.2m
显然d不随时间变化．
答：
（1）在每个粒子通过电场区域的时间内，可以把板间的电场强度看作是恒定的．计算说明见上；
（2）该带电粒子射出电场时速度的大小为1.41×10⁵m/s；
（3）d不随时间变化．

点评：本题考查带电粒子在电场中的偏转和在磁场中做圆周运动，掌握在电场中运动时在沿电场方向和垂直磁场方向上的运动规律，以及掌握在磁场中运动的半径公式，结合几何关系进行求解．