Question

20．如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，则当x=4R时，此过程中施加的推力最小，最小值为mg （ 提示：a+b≥2$\sqrt{ab}$）

Answer 1

分析 对AC运动过程应用动能定理，得到在C点的速度；然后根据C到A做平抛运动，联立得到F的表达式，进而求得最小值．

解答 解：质点从A到C的运动过程只有重力、推力作用，故由动能定理可得：$Fx-2mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
质点要达到C点，那么由牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$，$v≥\sqrt{gR}$；
质点从C到A做平抛运动，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x=vt=2v\sqrt{\frac{R}{g}}$；
所以，$F=\frac{2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}}{x}=\frac{2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}}{2v\sqrt{\frac{R}{g}}}$=$\sqrt{\frac{g}{R}}（\frac{mgR}{v}+\frac{mv}{4}）$，
所以，当$\frac{mgR}{v}=\frac{mv}{4}$，即$v=2\sqrt{gR}$时，x=4R，F最小，最小值${F}_{min}=\sqrt{\frac{g}{R}}•2×\frac{1}{2}m\sqrt{gR}=mg$；
故答案为：4R；mg．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．