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15.如图,小球从光滑的斜面轨道上的某点下滑至光滑水平轨道末端时,光电装置被触动,控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来(转筒的底面半径为R).已知小球经过B点时无能量损失,轨道末端与转筒上部相平,与转筒的转轴距离为L,且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h.开始时转筒静止,且小孔正对着轨道方向.小球从斜轨上的A点无初速滑下,若正好能钻入转筒的小孔(小孔比小球略大,小球视为质点,不计空气阻力,重力加速度为g),求:
(1)小球从斜轨上释放时的高度H;  
(2)转筒的角速度ω.

分析 (1)小球从离开圆弧轨道到进入小孔的过程中做平抛运动,根据平抛运动的位移时间关系公式求出运动时间和初速度,再对小球在圆弧轨道上的运动运用机械能守恒定律列式求解;
(2)计算出平抛运动的时间后,根据角速度的定义式求解角速度即可.

解答 解:(1)设小球离开轨道进入小孔的时间为t,则由平抛运动规律得
h=$\frac{1}{2}$gt2
L-R=v0t
小球在轨道上运动过程中机械能守恒,故有
mgH=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
联立解得:
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
H=$\frac{(L-R)^{2}}{4h}$
(2)在小球做平抛运动的时间内,圆筒必须恰好转整数转,小球才能钻进小孔,
即ωt=2nπ(n=1,2,3…).
所以ω=$nπ\sqrt{\frac{2g}{h}}$(n=1,2,3…)
答:(1)小球从斜轨上释放时的高度H为$\frac{{(L-R)}^{2}}{4h}$;
(2)转筒的角速度ω为$nπ\sqrt{\frac{2g}{h}}$(n=1,2,3…).

点评 本题关键是分析求出小球和圆筒的运动规律,然后根据机械能守恒定律、平抛运动分位移公式、角速度定义式列式求解.

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