Question

4．如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B．有两根质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场II中点C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放．当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即△v∝△x求：

（1）若a棒释放的高度大于h₀，则a棒进入磁场I时会使b棒运动，判断b 棒的运动方向并求出h₀为多少？
（2）若将a棒从高度小于h₀的某处释放，使其以速度v₀进入磁场I，结果a棒以$\frac{{v}_{0}}{2}$的速度从磁场I中穿出，求在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q和两棒即将相碰时b棒上的电功率P_b为多少？

Answer 1

分析 （1）根据右手定则来判定感应电流方向，再依据左手定则来判定安培力，从而确定b 棒运动；当a棒从h₀高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒求得速度，根据法拉第电磁感应定律求得电动势，从而求出安培力，并依据平衡，即可求得最大摩擦力，进而求出高度．
（2）利用电磁感应定律求得平均电动势，求出电流，再由电量和电流关系求解电量，利用题目速度与位移关系求出相碰时棒的速度，结合感应定律和焦耳定律求解功率．

解答 解：（1）根据右手定则可知，a棒产生感应电流方向由M到P，那么根据左手定则，判断知b棒受到安培力的方向向左，因此其向左运动．
a棒从h₀高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有：
mgh₀=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$
a棒刚进入磁场I时有：E=BLv
此时感应电流大小为：I=$\frac{E}{2R}$
此时b棒受到的安培力大小为：F=BIL
依题意，有：F=Kmg
解得：h₀=$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
（2）由于a棒从小于进入h₀释放，因此b棒在两棒相碰前将保持静止．流过电阻R的电量为：q=$\overline{I}$△t  
又$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{{R}_{总}}$=$\frac{B△S}{{R}_{总}△t}$
所以在a棒穿过磁场I的过程中，通过电阻R的电量为：
q=$\frac{BId}{2R}$    
将要相碰时a棒的速度为：
v=$\frac{{v}_{0}}{2}$-$\frac{{v}_{0}-\frac{{v}_{0}}{2}}{d}$×$\frac{d}{2}$=$\frac{{v}_{0}}{4}$
此时电流为：I=$\frac{BL{v}_{0}}{8R}$
此时b棒电功率为：P_b=I²R=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{64R}$．
答：（1）b棒向左运动，h₀为$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
（2）在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q为$\frac{BId}{2R}$，两棒即将相碰时b棒上的电功率P_b为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{64R}$．

点评 本题综合考查了机械能守恒定律、能量守恒定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律等，综合性较强，对学生能力要求较高，需加强这方面的训练，同时会区别右手定则与左手定则的不同．