Question

4个相同的木块，每块的质量都是m，每块均可以看作质点，放置在倾角为θ的斜面上，相邻两木块间的距离为l，最下端的木块距底端也是l，木块与斜面间的动摩擦因数为μ，如图所示，在开始时刻，第一个木块以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木块都静止．由于第一个木块的下滑将依次引起一系列的碰撞，每次发生碰撞时间都很短，在发生碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，直到最后第4个木块到达斜面底端时，刚好停在底端．求：
（1）第一次碰撞前第一个木块的动能E₁．
（2）第一次碰撞时系统损失的机械能△E₁．
（3）在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能△E．

Answer 1

（1）对第一个木块下滑的过程中，由动能定理得
    mglsinθ-μmglcosθ=E₁-

1

2

mv₀²?
即   E₁=mglsinθ-μmglcosθ+

1

2

mv₀²
（2）第一个木块与第二个木块碰撞过程中，由动量守恒定律近似得
  mv₁=2mv₁′，即v₁′=

1

2

v₁　　　                
E₁′=

1

2

×2mv₁′²，
则得△E₁=E₁-E₁′=

1

2

E₁=

1

2

（mglsinθ-μmglcosθ+

1

2

mv₀²）　              
（3）由总能量守恒可得：
  mglsinθ+2mglsinθ+3mglsinθ+4mglsinθ+

1

2

mv₀²=△E+μmglcosθ+2μmglcosθ+3μmglcosθ+4μmglcosθ 
即△E=10mgl（sinθ-μcosθ）+

1

2

mv₀²．?
答：
（1）第一次碰撞前第一个木块的动能E₁是mglsinθ-μmglcosθ+

1

2

mv₀²．
（2）第一次碰撞时系统损失的机械能△E₁是

1

2

（mglsinθ-μmglcosθ+

1

2

mv₀²）．　
（3）在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能△E是10mgl（sinθ-μcosθ）+

1

2

mv₀²．