Question

5．如图所示，光滑的长平行金属导轨宽度d=50cm，导轨所在的平面与水平面夹角θ=37°，导轨上端电阻R=0.8Ω，其他电阻不计．导轨放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.4T．金属棒ab从上端由静止开始下滑，金属棒ab的质量m=0.1kg．（sin37°=0.6，g=10m/s²）
（1）求导体棒下滑的最大速度；
（2）求当速度达到5m/s时导体棒的加速度；
（3）若经过时间t，导体棒下滑的垂直距离为s，速度为v．若在同一时间内，电阻产生的热与一恒定电流I₀在该电阻上产生的热相同，求恒定电流I₀的表达式（各物理量全部用字母表示）．

Answer 1

分析 （1）导体棒匀速下滑时速度最大．由安培力公式求出安培力，然后由平衡条件求出最大速度；
（2）由安培力公式求出安培力，由牛顿第二定律求出加速度．
（3）根据能量守恒守恒求出电阻上产生的电热，再由题意求解恒定电流I₀的表达式．

解答 解：（1）导体棒速度最大时做匀速直线运动，
导体棒受到的安培力：F=BId=Bd$\frac{E}{R}$=Bd$\frac{Bdvcosθ}{R}$=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}vcosθ}{R}$
导体棒做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件得：
 mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}vcosθ}{R}$cosθ，
代入数据解得，最大速度：v_m=18.75m/s．      
（2）由牛顿第二定律得：mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{d}^{2}vcosθ}{R}$cosθ=ma，
已知：v=5m/s，代入数据解得：a=4.4m/s²．
（3）若经过时间t，导体棒下滑的垂直距离为s，速度为v．由能量守恒得
电阻上产生的电热为 Q=mgs-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由题意有：Q=${I}_{0}^{2}$Rt
则 I₀=$\sqrt{\frac{2mgs-m{v}^{2}}{2Rt}}$
答：
（1）导体棒下滑的最大速度为18.75m/s；
（2）求当速度达到5m/s时导体棒的加速度为4.4m/s²．
（3）恒定电流I₀的表达式为I₀=$\sqrt{\frac{2mgs-m{v}^{2}}{2Rt}}$．

点评 本题考查了求速度、加速度问题，分析清楚导体棒的运动过程、求出感应电动势、应用安培力公式、牛顿第二定律即可正确解题．