Question

1．如图1，半径为R的圆筒形真空管中有两个隔板把管内分为三个区域，隔板上分别位于中心的小孔A与A’，其间距为L．区域Ⅰ中有电场，区域Ⅱ有沿管轴方向的匀强磁场，区域Ⅲ中既无电场也无磁场．由阴极K连续发出的电子在区域Ⅰ中由电场加速，穿过小孔A成发散电子束进入区域Ⅱ．设各个电子穿过小孔A时沿管轴方向的分速度都为v，调节区域Ⅱ中的磁感应强度使它等于为使在区域Ⅲ中有穿过小孔A’的发散电子束所必须的最低值，从这时开始计时且保持此最低值不变，但使磁场方向作周期为T的周期性正、反变化，如图2所示．设真空管中凡碰到管壁的电子均不弹回
（1）求在区域Ⅲ中有穿过A’的发散电子束时T的最小值T_O．
（2）设T=2T_O，在图2的时间轴上标出区域Ⅲ中有发散电子束的时间区间
（3）进入区域Ⅲ内的电子束中，电子运动方向与管轴间的夹角最大可能值为多大？

Answer 1

分析 （1）分析题意，明确粒子在磁场中的运动情况，根据水平方向的匀速运动可求得最小周期；
（2）根据粒子的运动过程，只要粒子在磁场中经过一个螺旋才能到达A′，则可知粒子能通过A′间的时间范围；
（3）根据电子在磁场中的圆周运动规律可得出对应的半径和周期，根据几何关系可求得对应的最大夹角．

解答 解：由题意可知，粒子具有沿管轴方向的磁场，而电子具有沿管轴的分速度和其他方向的分速度，要使电子束能到达A'点；则应保证粒子最少经过一个螺距后到达A′，则有：
T′=$\frac{L}{v}$；
若这些电子在区域II中运动的时间不到T′，它们将不能穿过A′，因此要使电子穿过A′的最小周期T₀=2T′=$\frac{2L}{v}$；
（2）如图T=2T₀，那么每一次改变磁场方向后的后一个$\frac{{T}_{0}}{2}$，A′穿过A的电子将能穿过A′，即在图中时间轴上波纹线部分所表示的时间内，有电子穿过；
（3）设斜入射到区域II中的电子在垂直于管轴方向上的速度为v⊥，即电子做圆周运动的半径和周期T分别为
r=$\frac{m{v}_{⊥}}{Be}$
T′=$\frac{2πm}{Be}$
只有2r＜R的那些电子才能不与管壁碰撞而到达A′，即
$\frac{m{v}_{⊥}}{eB}$$＜\frac{B}{2}$，
v_⊥＜$\frac{eBR}{2m}$
利用T′=$\frac{2πm}{eB}$=$\frac{L}{v}$，
可消去B和到v_⊥$＜\frac{πRv}{L}$
因此穿过A′后的电子运动方向与管轴间的最大夹角为
θ=arctan$\frac{πR}{L}$
答：（1）在区域Ⅲ中有穿过A’的发散电子束时T的最小值T_O为$\frac{2L}{v}$；
（2）设T=2T_O，在图2的时间轴上标出区域Ⅲ中有发散电子束的时间区间如图所示；
（3）进入区域Ⅲ内的电子束中，电子运动方向与管轴间的夹角最大可能值为θ=arctan$\frac{πR}{L}$．

点评 本题考查磁聚焦原理，要根据题意明确粒子的运动规律，从而确定粒子能否通过区域II，并根据粒子的运动规律可确定最大夹角．