Question

15．如图所示，一粗糙水平桌面上P、Q两点相距I=6m，桌面高h=0.8m，A与桌面动摩擦因数μ₁=0.2，半径R=1.75m的光滑圆弧轨道CDE与足够长的粗糙直轨道EF在E处平滑连接．O为圆弧轨道CDE的圆心，D点为圆弧轨道的最低点．半径OC、OE与OD的夹角分别为53°和37°，有一质量为M=3kg的小物块A从P点由静止开始在F=30N的恒力作用下向右运动．F作用一端距离x后撤去，A之后运动到Q点与质量m=5kg的物体（视为质点）B发生弹性正碰．B从桌面边缘Q点水平抛出（桌面对B的摩擦忽略不计），恰从C点沿切线方向进入圆弧轨道．已知物体B与轨道EF间的动摩擦因数μ₂=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos7°=0.8，求：
（1）B物体水平抛出时的初速度大小v₁；
（2）在力F作用的时间内，A运动的距离x；
（3）物体B第一次经过E点到第一次返回E点经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据速度位移公式求出物体平抛运动到C点的竖直分速度，结合平行四边形定则求出B物体水平抛出的速度．
（2）根据动量守恒、机械能守恒求出A、B碰撞前A的速度，对A运用动能定理，求出在力F作用的时间内，A运动的距离．
（3）根据动能定理求出B到达E点的速度，结合牛顿第二定律和运动学公式求出物体B第一次经过E点到第一次返回E点经历的时间．

解答 解：（1）因为B物体恰好从C点沿切线方向进入圆弧轨道，在C点的竖直分速度为：
${v}_{y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}$m/s=4m/s，
根据平行四边形定则知，$tan53°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$，
解得：${v}_{1}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=\frac{4}{\frac{4}{3}}m/s=3m/s$．
（2）A、B发生弹性正碰，动量守恒，机械能守恒，规定向右为正方向，有：
Mv_A=Mv_A′+mv₁，
$\frac{1}{2}M{{v}_{A}}^{2}=\frac{1}{2}M{v}_{A}{′}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入数据，联立解得：v_A=4m/s，
对P到Q运用动能定理得：$Fx-{μ}_{1}Mgl=\frac{1}{2}M{{v}_{A}}^{2}-0$，
代入数据解得：x=2m．
（3）物体B在C点的速度为：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{9+16}$m/s=5m/s，
对C到E，根据动能定理得：$mg（Rcos37°-Rcos53°）=\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入数据解得：v_E=$4\sqrt{2}$m/s，
物块B沿EF上滑的加速度大小为：a₁=gsin37°+μ₂gcos37°=6+0.5×8=10m/s²，
下滑的加速度大小为：a₂=gsin37°-μ₂gcos37°=6-0.5×8=2m/s²，
上滑的时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{E}}{{a}_{1}}=\frac{4\sqrt{2}}{10}=\frac{2\sqrt{2}}{5}s$
上滑的位移为：$x=\frac{{{v}_{E}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{32}{20}m=1.6m$，
根据x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$得下滑的时间为：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2x}{{a}_{2}}}=\sqrt{\frac{2×1.6}{2}}s=\frac{2\sqrt{10}}{5}s$，
则物体B第一次经过E点到第一次返回E点经历的时间为：t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2\sqrt{2}}{5}+\frac{2\sqrt{10}}{5}=\frac{2（\sqrt{2}+\sqrt{10}）}{5}s$．
答：（1）B物体水平抛出时的初速度大小为3m/s；
（2）在力F作用的时间内，A运动的距离x为2m；
（3）物体B第一次经过E点到第一次返回E点经历的时间为$\frac{2（\sqrt{2}+\sqrt{10}）}{5}s$．

点评 本题关键是分析清楚物体的运动情况，然后根据动能定理、平抛运动知识、能量守恒定理解题，本题用的知识点较多，难度较大．