Question

10．在水平长直的轨道上有一长度为l的平板车，将一质量为m=1kg的小滑块在下列情形下轻放在平板车上表面的中点．

（1）若平板车的质量为M=3kg，长直轨道光滑，让平板车以v₀=4m/s的初速度运动，小滑块不会从平板车上掉下来，则小滑块相对于平板车静止时的速度为多少？
（2）若平板车在外力控制下始终保持速度v₀=4m/s做匀速直线运动，小滑块最终相对小车静止，滑块和车因摩擦产生的内能为多少？
（3）已知滑块与车面间动摩擦因数μ=0.2，车长L=2m，平板车在外力控制下保持速度v₀=4m/s速度不变，取g=10m/s²，当滑块放到车面中点的同时对该滑块施加一个与车运动方向相同的恒力F=6N，要保证滑块不能从车的左端掉下，恒力F作用时间应该在什么范围？

Answer 1

分析 （1）由动量守恒定律列出等式，由能量守恒求解速度；
（2）根据牛顿第二定律和运动学公式求解相对位移，则可由功的计算求出因摩擦产生的内能；
（3）力F取6N，当滑块运动到车左端后，为使滑块恰不从右端滑出，相对车先做匀加速运动，
再做匀减速运动，到达车右端时，与车达共同速度．根据根据牛顿第二定律和几何关系求解．

解答 解：（1）由动量守恒定律得：
Mv₀=（M+m）v
   解得v=$\frac{{Mv}_{0}}{m+M}$=$\frac{3×4}{1+3}$=3m/s；
（2）根据牛顿第二定律，滑块相对车滑动时的加速度a=μg       
滑块相对车滑动的时间 t=$\frac{{v}_{0}}{a}$                                                
滑块相对车滑动的距离△x=v₀t-$\frac{{v}_{0}t}{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$                       
滑块与车因摩擦产生的内能  Q=μmg△x=$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}×1×16$=8J      
（3）F取6N；设恒力F取最小值为F₁，滑块加速度为a₁，此时滑块恰好到达车的左端，则
滑块运动到车左端的时间  t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$①
由几何关系有  v₀t₁-$\frac{{{v}_{0}t}_{1}}{2}$=$\frac{L}{2}$②
由牛顿定律有 F₁+μmg=ma₁③
由①②③式代入数据解得  t₁=0.5s，F₁=6N
则恒力F大小应该满足条件是  F≥6N
因此F=6N小滑块恰好不会掉下来．
当滑块运动到车左端后，为使滑块恰不从右端滑出，相对车先做匀加速运动（设运动加速度为a₂，时间为t₂），再做匀减速运动（设运动加速度大小为a₃）．到达车右端时，与车达共同速度．则有
F₁-μmg=ma₂                                                  
μmg=ma₃                                         
$\frac{1}{2}$a₂t₂²+$\frac{{a}_{2}^{2}{t}_{2}^{2}}{2{a}_{3}}$=L                                          
代入数据解得t₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$≈0.58s；                          
则力F的作用时间t应满足  t₁≤t≤t₁+t₂，即0.5s≤t≤1.08s 
答：（1）小滑块相对于平板车静止时的速度为3m/s
（2）摩擦产生的内能为8J；
（3）力F的作用时间应该在0.5s≤t≤1.08s．

点评 对物体运动的正确判断，物体从端不滑下的前提是车的位移-物体的位移小于车身长度的一半，物体不从右端滑出，物体在力F作用下加速运动，当撤去F后，物体在滑动摩擦力作用下做减速直线运动，当速度与车相同时，注意车和物体的位移关系．