Question

（2006?广东模拟）铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h．

弯道半径r/m	660	330	220	165	132	110
内外轨高度差h/mm	50	100	150	200	250	300

（1）根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r=440m时，h的设计值；
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v（以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理）
（3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？

Answer 1

分析：（1）由于660×50=330×100=220×150为定值即hr=33m²，故可以求出当r=440m时h的设计值；
（2）因为火车运动的轨迹圆沿水平方向，转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，轨道的支持力在竖直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力恰好提供向心力，故有mgtanθ=m

v2

r

，再根据当θ很小，有：tanθ≈sinθ=

h

L

，即可求出火车转弯的速率v．
（3）根据（2）中速率v的表达式即可找到可采取的有效措施．

解答：解：（1）分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数
C=660m×50×10^-3m=33m²
因此    h?r=33（或h=33

1

r

）    ①
当r=440m时，有：
h=

33

440

m=0.075m=75mm                    
（2）转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示．由牛顿第二定律得：mgtanθ=m

v2

r

     ②
因为θ很小，有：tanθ≈sinθ=

h

L

       ③
由②，③可得：v=

ghr L

        ④
代入数据得：v=15m/s=54km/h
（3）由④式可知，可采取的有效措施有：
a．适当增大内外轨的高度差h；
b．适当增大铁路弯道的轨道半径r．
答：（1）当r=440m时，h的设计值为75mm；
（2）我国火车的转弯速率v为54km/h；
（3）为了提速应采取的措施有：a．适当增大内外轨的高度差h；b．适当增大铁路弯道的轨道半径r．

点评：轨道的支持力在竖直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力提供向心力，一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力，因为火车运动的轨迹圆沿水平方向而不是沿斜面方向．