Question

2．设月球围绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，地球的半径为R _E，月球的半径为R _M．假设r、R _E、R _M均减少为现在的$\frac{1}{100}$，此时月球围绕地球转动的周期变为T′．若地球、月球的质量分布均匀且密度保持不变，仅考虑地球和月球之间的相互作用，则下列判断正确的是（　　）

• A． T′＜T
• B． T′＞T
• C． T′=T
• D． 无法比较

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，表示出卫星运行的周期，再根据轨道半径的关系求解．

解答 解：以月球为研究对象，地球对月球的万有引力提供向心力，
则：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{Gρ\frac{4}{3}π{{R}_{E}}^{3}}}=2π\sqrt{\frac{3{r}^{3}}{4ρGπ{{R}_{E}}^{3}}}$
$T′=2π\sqrt{\frac{3（\frac{r}{100}）^{3}}{4ρGπ（\frac{{R}_{E}}{100}）^{3}}}=2π\sqrt{\frac{3{r}^{3}}{4ρGπ{{R}_{E}}^{3}}}$即周期不变，
故ABD错误，C正确；
故选：C．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，知道周期与轨道半径的关系．同时要知道常识：月球绕地球运行周期大约为27天．