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17.如图所示,四分之一粗糙圆弧轨道PD的圆心O1和光滑半圆轨道DQ的圆心O2,与斜面体ABC的竖直面AB在同一竖直线上,两圆弧轨道衔接处的距离忽略不计,斜面体ABC的底面BC是水平面,一个质量m=0.2kg,可视为质点的小球从P点由静止开始释放,先后沿两个圆弧轨道运动,最后落在斜面体上(不会弹起),已知四分之一圆弧的半径R1=1.0m,半圆的半径R2=0.6m,AB=9m,BC=12m,O2A=1.1m,小球在半圆最低点Q对轨道的压力为14N.求:
(1)小球经过D点时的速度大小;
(2)小球在四分之一圆弧内下滑时克服摩擦力做的功;
(3)小球落在斜面上的位置到A点的距离.

分析 (1)小球经过Q点时,由轨道的支持力和重力的合力充当向心力,由牛顿第二定律求小球经过Q点时的速度大小.再研究小球从D点运动到Q点的过程,运用机械能守恒定律求出小球通过D点时的速度.
(2)小球从P到D的过程,运用动能定理求克服摩擦力做的功.
(3)小球离开半圆轨道后做平抛运动,根据平抛运动的规律和几何关系求解小球落在斜面上的位置到A点的距离.

解答 解:(1)小球在半圆最低点Q对轨道的压力为14N,由牛顿第三定律知小球在Q点受到的支持力为:N=14N
在Q点,由牛顿第二定律和向心力公式得:
N-mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{2}}$
解得:vQ=6m/s
小球从D点运动到Q点的过程中,由机械能守恒定律得:
2mgR2+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
代入数据解得:vD=2$\sqrt{3}$m/s
(2)小球从P运动到D的过程,由动能定理得:
mgR1-Wf=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0
解得:Wf=0.8J
(3)小球离开半圆轨道后做平抛运动,由几何关系可知:
tanθ=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$
Q、A两点间的距离为:h=O2A-R2=1.1-0.6=0.5m
由平抛运动规律得:
  x=Lcosθ=vt
  y=h+Lsinθ=$\frac{1}{2}$gt2
联立解得:小球落在斜面上的位置到A点的距离为:L=7.5m
答:(1)小球经过D点时的速度大小为2$\sqrt{3}$m/s;
(2)小球在四分之一圆弧内下滑时克服摩擦力做的功是0.8J;
(3)小球落在斜面上的位置到A点的距离是7.5m.

点评 分析清楚小球的运动情况,把握每个过程和状态的物理规律是关键.轨道光滑时往往根据机械能守恒定律求速度.对于平抛运动,要熟练运用运动的分解法研究,同时要把握隐含的几何关系.

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