Question

钓鱼时甩杆后鱼饵飞出的过程可想象成这样的情景，开始时鱼线水平向左伸展并以初始速率v₀向右运动（如图a所示），当鱼线端的鱼饵水平向前运动时，鱼线会弯折成水平的上下两段（如图b所示），上段鱼线随鱼饵仍向前运动，而下段鱼线则静止，下段鱼线的长度增加时上段鱼线的长度减小（如图c所示），直到鱼线水平向右完全伸开（如图d所示）．若不考虑空气阻力等其它因素，则在上述过程中图a中鱼线的动能将逐渐集中于鱼饵和长度不断减小的上段鱼线，已知初始速率v₀=6.0m/s，鱼线长L=20m，鱼饵的质量m=0.8g，假定鱼线的质量分布均匀，其线密度（单位长度的质量）ρ=1.3g/m．关于上述鱼饵飞出的过程，
（1）求出鱼饵能达到的最大速率．
（2）采用已给出的x轴（原点在图a中的鱼饵处），写出鱼饵的速率随x变化的函数式，并说明x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当鱼饵达到的最大速率时，绳子处于静止状态，初始位置时绳子和鱼饵的动能全部转化为末位置鱼饵的动能，根据能量守恒列式即可求解．
（2）在运动过程中总动能是守恒的，任一个位置的动能都等于初始位置的总动能，根据能量守恒列式即可求解．

解答：解：（1）当鱼饵达到的最大速率时，绳子处于静止状态，根据能量守恒列式得：

1

2

m

v

2 0

+

1

2

ρL

v

2 0

=

1

2

m

v

2 M

，
带入数据得：

1

2

×0.8×10-3×6.02+

1

2

×1.3×10-3×20×6.02=

1

2

×0.8×10-3×

v

2 M

解得：v_M≈34.7m/s
（2）在运动过程中总动能是守恒的，则有：

1

2

m

v

2 0

+

1

2

ρL

v

2 0

=

1

2

mv2+

1

2

ρ(L-

x

2

)v2
带入数据得：

1 2 ×0.8×10-3×6.02+ 1 2 ×1.3×10-3×20×6.02 = 1 2 ×0.8×10-3×v2+ 1 2 ×1.3×10-3(20- x 2 )v2

解得：v=

19296 536-13x

，0≤x≤40m
答：（1）鱼饵能达到的最大速率为34.7m/s．
（2）鱼饵的速率随x变化的函数式为，v=

19296 536-13x

，0≤x≤40m．

点评：本题是信息题，要求同学们能读懂题目的意思，其中下段鱼线静止是解题的突破口，难度适中．