Question

15．如图所示，竖直平面内一半径为R的光滑圆弧形内轨道与倾角θ=30°的粗糙斜面连接，连接处与光滑圆弧相切，质量为m，可视为质点的物块从斜面上与圆心等高的A点以初速度v₀滑下，经过圆心正上方的轨道最高点C抛出后，恰又落到A点．设物块与斜面间动摩擦因数μ=0.2，重力加速度为g，求：
（1）物块在C点对轨道的压力大小；
（2）物块在A点的初速度V₀．

Answer 1

分析 （1）物块从C到A做平抛运动，根据几何关系得出平抛运动的水平位移，结合平抛运动的规律，求出平抛运动的初速度，即物块在最高点C的速度．在C点，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对物块的压力，从而得到物块对轨道的压力．
（2）对物块从A到B再C的过程，运用动能定理列式，可求得物块在A点的初速度v₀．

解答 解：（1）根据几何关系可得：OA=2R
设物块由C平抛到A历时t，则：
水平方向有：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
竖直方向有：OA=v_Ct  
解得：v_C=$\sqrt{2gR}$
在C点，由牛顿第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N=mg
由牛顿第二定律知物块在C点对轨道的压力大小为：
N′=N=mg
（2）对物块从A到B再C的过程，由动能定理得：
-mgR-μmgcos30°•Rtan60°=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得：v₀=$\sqrt{4.6gR}$
答：（1）物块在C点对轨道的压力大小是mg；
（2）物块在A点的初速度v₀是$\sqrt{4.6gR}$．

点评 该题的关键要明确物块的运动过程，熟练运用分解法研究平抛过程，对于涉及力在空间效果求速度时要首先考虑动能定理．