Question

近几年，我国北方地区多次遭遇沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如下情境：v为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动），这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v向下时所受的阻力，此阻力可表示为：f=aρAv²，其中a为一系数，A为沙尘颗粒截面积，ρ为空气密度．计算结果取两位有效数字．
（1）若沙粒的密度ρ_s=2.8×10³㎏/m³，沙尘颗粒为球形，半径r=2.5×10^-4m，地球表面处空气密度ρ₀=1.25㎏/m³，a=0.45，试估算在地面附近沙尘扬起的v值．
（2）假定空气密度ρ随高度h的变化关系为ρ=ρ₀（1-Ch），其中ρ₀为h=0处的空气密度，C为一常数，C=1.2×10^-4/m^-1，试估算当v=9.0m/s时扬尘的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变化，g取10m/s²）

Answer 1

（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡．即：
aρ0A

v

21

=mg…①
式中A=πr² …②
m=

4

3

πr3ρs…③
由①②③式得：
v1=

4ρsgr 3aρ0

，代入数据得：
v₁≈4.0m/s
（2）设最大高度h，此处空气密度ρ_h，则：ρ_h=ρ₀（1-ch）…④
又：aρhAv2=mg…⑤
由②③④⑤式可解得：
h=

1

c

(1-

4rρsg

3av2ρ0

)，代入数据得：
h≈6.7×10³m
答：（1）地面附近沙尘扬起的v值为：4.0m/s
（2）当v=9.0m/s时扬尘的最大高度为：6.7×10³m