Question

如图甲所示，两平行金属板A、B的板长l=

3

10

m，板间距d=0.10m，在金属板右侧有一范围足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为MN，与金属板垂直．在t=0时刻，两金属板间加如图乙所示的正弦交变电压，匀强磁场的磁感应强度B=1.0×10^-2T．现从t=0开始，从两极板左侧的中点O以每秒钟1000个的数量不间断地释放出某种正电荷，这种带正电的粒子均以v₀=

3

2

×10⁵m/s的速度沿两板间的中线OO′连续进入电场，经电场后射入磁场．已知带电粒子的比荷

q

m

=1.25×10⁷C/kg，粒子的重力忽略不计，假设在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变，不计粒子间的相互作用．求：
（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离（结果保留两位有效数字）；
（2）每秒钟有多少个带正电的粒子进入磁场；
（3）何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间为多少？（π≈3）

Answer 1

分析：（1）t=0时刻，电压为0，故粒子在电场中不会发生偏转，由洛仑兹力充当向心力公式可得出粒子的偏转半径；由几何关系可得出入射点与出射点间的距离；
（2）随着电压的增大，粒子的偏转位移也增大；则能穿出电场的临界条件是粒子恰好打在板的最右端；由类平抛运动的规律可求得临界电压；由图可求得能进入磁场的粒子个数；
（3）要使粒子运动时间最长，则粒子在磁场中转过的圆心角应最大；由几何关系可得粒子在磁场中的圆心角，从而求出最长时间．

解答：解：（1）t=0时，U_AB=0，带电粒子在极板间不偏转，水平射入磁场，由qvB=m

v 2 0

r

得   r=

mv0

qB

①
射入和射出磁场时，两点间的距离为s=2r    ②
由①②可得s=1.4m                        ③
（2）设：当两极板电压为u时，由O点射入的粒子刚好从板的边缘进入磁场，则有

1

2

d=

1

2

at2④
qE=ma⑤，
E=

u

d

⑥
t=

l

v0

⑦
由④⑤⑥⑦式得：U=

md2 v 2 0

ql2

，代入数据得：U=200V       ⑧
由乙图可知，在每周期内只有0～

1

8

T0，

3

8

T0～

5

8

T0，

7

8

T0～T₀，时间段内由O射入的粒子才能通过电场而进入磁场，即只有一半的时间内有粒子能进入磁场，所以每秒钟有500个粒子进入磁场．
（3）只有当A板电势高于B板电势，且沿B板右侧边缘进入磁场的粒子，由于在电场中的偏转角最大，使得其在磁场中做圆周运动对应的圆心角最大，故在磁场中运动的时间最长，如图所示．即t=(n+

1

8

)T0，（n=0，1，2，3，…）⑨
或t=(n+

3

8

)T0，（n=0，1，2，3，…）⑩
这些时刻入射的粒子在磁场中运动的时间最长．
由带电粒子在电场中做类平抛运动的特点可得tanθ=

d 2

l 2

=

3

3

，θ=30°   （11）
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，所求的最长时间为t′，则有T=

2πm

qB

（12）
由几何关系得粒子在磁场中运动的圆心角240°，
则 t′=

2

3

T（13）
由（12）（13）式代入数据得t′=3.2×10^-5s      
答：（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离为1.4m；
（2）每秒钟有500个带正电的粒子进入磁场；
（3）t=(n+

1

8

)T0或t=(n+

3

8

)T0时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长，
最长时间为3.2×10^-5s．

点评：本题应注意题意中给出的条件，在粒子穿出电场的时间极短，电压看作不变；同时要注意带电粒子在磁场中的偏转类题目一定要找清几何关系．