Question

6．如图所示，位于竖直平面上半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧轨道AB光滑无摩擦，O点为圆心，A点距地面的高度为H，且O点与A点的连线水平．质量为m的小球从A点由静止释放，通过B点时对轨道的压力为3mg，最后落在地面C处．不计空气阻力，求：
（1）小球离开B点前后的加速度大小和速度v_B．
（2）小球落地点C与B点的水平距离x．
（3）小球落点速度与水平方向夹角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出小球通过B点的加速度，结合牛顿第二定律求出B点的速度大小．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平距离x．
（3）根据速度公式求出落地时小球的竖直分速度，再求解．

解答 解：（1）在B点，根据牛顿第二定律得：N-mg=ma
又 N=3mg
解得：a=2g，
根据：a=$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
得：v_B=$\sqrt{2gR}$．
（2）根据H-R=$\frac{1}{2}$gt²得：t=$\sqrt{\frac{2（H-R）}{g}}$
则水平距离为：x=v_Bt=$\sqrt{4HR-4{R}^{2}}$．
（3）落地时，竖直分速度为：v_y=gt=$\sqrt{2g（H-R）}$
则小球落点速度与水平方向夹角的正切值为：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{H-R}{R}}$
答：（1）小球通过B点时的加速度为2g，通过B点的速度v_B为$\sqrt{2gR}$．
（2）小球落地点C与B点的水平距离为$\sqrt{4HR-4{R}^{2}}$．
（3）小球落点速度与水平方向夹角的正切值是$\sqrt{\frac{H-R}{R}}$．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．