Question

【题目】如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。D点位于水平桌面最右端，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R＝0.45m的圆环剪去左上角127°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离为R，P点到桌面右侧边缘的水平距离为1.5R．若用质量m1＝0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点，用同种材料、质量为m2＝0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为x＝4t﹣2t2，物块从D点飞离桌面后恰好由P点沿切线落入圆轨道。g＝10m/s2，求：

（1）质量为m2的物块在D点的速度；

（2）判断质量为m2＝0.2kg的物块能否沿圆轨道到达M点：

（3）质量为m2＝0.2kg的物块释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功.

Answer 1

【答案】（1）2.25m/s（2）不能沿圆轨道到达M点 （3）2.7J

【解析】

（1）设物块由D点以初速度vD做平抛运动，落到P点时其竖直方向分速度为：

vym/s＝3m/s

tan53°

所以：vD＝2.25m/s

（2）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，则

mg＝m，

解得：vm/s

物块到达P的速度：

m/s＝3.75m/s

若物块能沿圆弧轨道到达M点，其速度为vM，由D到M的机械能守恒定律得：

可得：，这显然是不可能的，所以物块不能到达M点

（3）由题意知x＝4t-2t2，物块在桌面上过B点后初速度vB＝4m/s，加速度为：

则物块和桌面的摩擦力：

可得物块和桌面的摩擦系数:

质量m1＝0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点，由能量守恒可弹簧压缩到C点具有的弹性势能为：

质量为m2＝0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点时，由动能定理可得：

可得，

在这过程中摩擦力做功：

由动能定理，B到D的过程中摩擦力做的功：

W2

代入数据可得：W2＝-1.1J

质量为m2＝0.2kg的物块释放后在桌面上运动的过程中摩擦力做的功

即克服摩擦力做功为2.7 J.