Question

12．如图所示，半径为R的内径很小的光滑半圆管竖直放置，C为最高点，两个质量均为m的小球A、B在水平面上以不同的速度进入管内，小球A通过C点时对管壁上部压力为8mg，小球B通过C点时对管壁下部压力为0.75mg．求A、B两球离开C点后落到水平地面上两落点间的距离．

Answer 1

分析 在C点，分别对A、B球进行受力分析，根据牛顿第二定律求出两球在通过高点时的速度，再根据平抛运动的规律，分别求出它们的水平位移大小，抓住落地的距离关系求出两落点间的距离．

解答 解：对A球，在轨道最高点时受力1所示，设A球在最高点速度为v₁，由牛顿第二定律得
   F_NA+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律得知，A球所受的轨道外壁的压力为 F_NA=8mg
A球离开C点后做平抛运动
水平位移 x_A=v₁t
竖直方向 2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得   x_A=6R
对B球，在轨道最高点受力如图2所示，设B球在最高点速度为v₂，由牛顿第二定律得
   mg-F_NB=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律得知，B球所受的轨道内壁的支持力为 F_NB=0.75mg
B球离开C点后做平抛运动
水平位移 x_B=v₂t
竖直方向 2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得   x_B=R
所以A、B两球落地点间的距离：△x=x_A-x_B=5R
答：A、B两球离开C点后落到水平地面上两落点间的距离是5R．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的基本运用，知道圆周运动向心力的来源和平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．