Question

5．一长为 L 的轻杆下端固定一质量为 m 的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直 平面内运动（不计空气阻力），如图所示，当小球在最低点时给它一个水平初速度 v₀，小球刚好能做 完整的圆周运动．若小球在最低点的初速度从 v₀逐渐增大，则下列判断正确的是（　　）

• A． 小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为$\sqrt{gL}$
• B． 小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大
• C． 小球在最低点对轻杆的作用力先增大后减小
• D． 小球在 运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心

Answer 1

分析 小球在竖直平面内做圆周运动，只有重力做功，机械能守恒，故速度不断变化，是变速圆周运动；在最高点和最低点，小球受到的弹力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式分析即可．

解答 解：A、设轻杆对小球的作用力大小为F，方向向上，小球做完整的圆周运动经过最高点时，对小球，由牛顿第二定律得mg-F=m$\frac{v^{2}}{R}$，当轻杆对小球的作用力大小F=mg时，小球的速度最小，最小值为0，故A错误．
B、由mg-F=m$\frac{v^{2}}{R}$，可得在最高点轻杆对小球的作用力F=mg-m$\frac{v^{2}}{R}$，若小球在最低点的初速度从v₀逐渐增大，小球经过最高点时的速度v也逐渐增大，当mg＞m$\frac{v^{2}}{R}$时，此时为拉力，随着速度的增大F减小；而当mg＜m$\frac{v^{2}}{R}$时，随着速度的增大，F变为拉力，并随着速度的增大而增大，所以轻杆对小球的作用力F先减小后反向增大；由牛顿第三定律可得小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大，故B正确．
C、在最低点，由F-mg=m$\frac{v_{0}^{2}}{R}$，可得轻杆对小球的作用力（拉力）F=mg+m$\frac{v_{0}^{2}}{R}$，若小球在最低点的初速度从v₀逐渐增大，则轻杆对小球的作用力（拉力）一直增大，故C错误．
D、轻杆绕水平轴在竖直平面内运动，小球不是做匀速圆周运动，所以合外力的方向不是始终指向圆心，只有在最低点和最高点合外力的方向才指向圆心，故D错误．
故选：B．

点评 本题关键对小球在最高点和最低点分别受力分析，然后根据牛顿第二定律列式分析，要注意杆子的作用特点，明确杆对小球可以无弹力，可以是拉力、支持力．