Question

8．地球的重力加速度为g，半径为R，万有引力恒量为G，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度．
（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据．
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T．

Answer 1

分析 （1）绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，可认为其轨道半径是地球的半径R，万有引力等于重力，可利用万有引力提供它做圆周运动的向心力来进行求解．
（2）根据万有引力提供向心力周期公式求解．

解答 解：（1）因为卫星绕地球表面附近做圆周运动，所以可认为其轨道半径是地球的半径R，万有引力等于重力，
由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得第一宇宙速度：v=$\sqrt{gR}$
（2）根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
且$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：T=$2π\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g{R}^{2}}}$
答：（1）第一宇宙速度的计算式为$\sqrt{gR}$．
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，则卫星的运行周期T为$2π\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g{R}^{2}}}$．

点评 万有引力提供卫星做圆周运动的向心力是解决这类题目的突破口，找出需要的数据列万有引力定律提供向心力公式即可，知道在地球表面万有引力等于重力．