Question

如图所示，木板B静止在光滑水平面上，某时刻大小可忽略的物体A以v₀=4m/s的初速度滑上木板B的上表面．已知A的质量m₁=1kg，B的质量为m₂=0.5kg，A与B之间的动摩擦因数?=0.2．g 取10m/s²．
（1）若木板B长L=1m，为使A不致于从B的右端滑落，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力F，试求拉力F的最小值为多少？
（2）木板B的长度存在某个值L₀，若板长小于此值时无论F为多少，A最终都会滑离B，试求L₀为多少？

Answer 1

分析：（1）物体A滑上木板B后匀减速运动，B做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律分析求出两个物体的加速度．物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度．根据速度公式求出运动时间，由A的位移等于B的位移与L之和，求出拉力F．
（2）当F较大时，在A与B具有相同的速度之后，A必须相对B静止，才能不会从B的左端滑落，根据牛顿第二定律求出拉力F．A滑到B的最右端并与B具有共同速度，B的长度即为l₀，根据牛顿第二定律和位移关系求出Bl₀．

解答：解：（1）物体A滑上木板B以后，作匀减速运动，加速度：a_A=?g…①
木板B作匀加速运动，有：F+μmg=m₂a_B…②
物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v_t，
设经过的时间为t，则：v₀-a_At=a_Bt…③v0t-

1

2

aAt2=

1

2

aBt2+l…④
由③、④式，可得：aB=

v 2 0

2l

-aA=6（m/s²）　
代入②式
    得：F=m₂a_B-μm₁g=0.5×6-0.2×1×10=1（N）                 
若F＜1N，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，于是将从B上滑落，所以F必须大于等于1N．
（2）当F较大时，在A与B具有相同的速度之后，A必须相对B静止，才能不会从B的左端滑落．即有：

F=(mA+mB)a μmAg=mAa

所以：F=3N
若F大于3N，A就会相对B向左滑下．
当F=3N时，A滑到B的最右端并与B具有共同速度，此时对应的B的长度即为l₀，
设经过t₁时间A与B具有共同速度aB′=

F+μmg

mB

=10m/s2
由v₀-a_At₁=a_Bt₁
得t₁=

1

3

s
 SA=v0t1-

1

2

aAt12
 SB=

1

2

aB′t12
又l₀=S_A-S_B
代入数据得l0=

2

3

m
答：
（1）拉力F的最小值等于1N．
（2）l0=

2

3

m．

点评：本题除了分析物体的受力情况和运动情况，关键要分析临界条件．当一个物体刚好不滑出另一个物体时两者速度相同，而且位移还存在关系．