Question

7．如图甲所示，光滑的水平地面上固定一长为L=1.7m长木板C，板的左端有两小物块A和B，其间夹有一根长为1.0m的轻弹簧，弹簧没有形变，且与物块不相连．已知m_A=m_C=20kg，m_B=40kg，A与木板C、B与木板C的动摩擦因数分别为μ_A=0.50，μ_B=0.25，用水平力F作用于A，让F从零逐渐增大，并使B缓慢地向右移动了0.5m，使弹簧贮存了弹性势能E₀．问：
（1）若弹簧的劲度系数为k=200N/m，以作用力F为纵坐标，A移动的距离为横坐标，试在图乙的坐标系中作出推力F随A位移的变化图线．
（2）求出弹簧贮存的弹性势能E₀的大小．
（3）当物块B缓慢地向右移动了0.5m后，保持A、B两物块间距，将其间夹有的弹簧更换，使得压缩量仍相同的新弹簧贮存的弹性势能为12E₀，之后同时释放三物体A、B和C，已被压缩的轻弹簧将A、B向两边弹开，哪一物块将先弹出木板C，最终C的速度是多少？

Answer 1

分析 （1）先求出A与C间的摩擦力为f_A=μ_Am_Ag=100N，B与C间摩擦力为f_B=μ_Bm_Bg=100N．力F从零逐渐增大，当增大到100N时，物块A开始向右移动压缩轻弹簧，此时B仍保持静止，弹簧的压缩量设为x，力F=f_A+kx，当x=0.5m时，力F=f_A+f_B=200N，此时B将缓慢地向右移．B在移动0.5m的过程中，力F保持F=200N不变，弹簧压缩了0.5m，B离木板C的右端0.2m，A离木板C有左端1.0m．根据这些条件可作出力F随A位移的变化图线．
（2）根据F-S图象的“面积”可求出力F在B缓慢地向右移动0.5m的过程中所做的功．根据能量守恒定律得知，推力做功等于弹簧储存的弹性势能E₀的大小与A克服摩擦力做功之和．
（3）分析三个物体的运动状态：撤去力F之后，AB两物块给木板C的摩擦力的合力为零，木板静止不动，由动量守恒可求出AB速度之比，则可得到位移关系，判断哪个物块先
先弹出木板C．对三个物体，由能量守恒定律和动量守恒结合求解最终C的速度．

解答 解：（1）A与C间的摩擦力为：f_A=μ_Am_Ag=0.5×20×10N=100N，B与C间摩擦为：f_B=μ_Bm_Bg=0.25×40×10N=100N，
推力F从零逐渐增大，当增大到100N时，物块A开始向右移动压缩轻弹簧（此时B仍保持静止），设压缩量为x，则力 F=f_A+kx，
当x=0.5m时，力F=f_A+f_B=200N，此时B将缓慢地向右移．B在移动0.5m的过程中，力F保持F=200N不变，弹簧压缩了0.5m，B离木板C的右端0.2m，A离木板C有左端1.0m．作出力F随A位移的变化图线如图所示．
（2）在物块B移动前，力F作用于物块A，压缩弹簧使弹簧贮存了弹性势能E₀，物块A移动了s=0.5m，设力F做功为W，由能量守恒可得
弹簧贮存的弹性势能大小为：E₀=W-f_As=$\frac{100+200}{2}$×0.5J-100×0.5J=25J
（3）撤去力F之后，AB两物块给木板C的摩擦力的合力为零，故在物块AB滑离木板C之前，C仍静止不动．物块AB整体所受外力的合力也为零，其动量守恒，取向右为正方向，可得
  m_Av_A=m_Bv_B
由题可知，始终v_A：v_B=m_B：m_A=2：1
当物块B在木板C上向右滑动了0.2m，物块A则向左滑动了0.4m，但A离木板C的左端还有d=0.6m．可见，物块B先滑离木板C．
并且两物体的相对位移△s=0.4m+0.2m=0.6m＞0.5m（弹簧的压缩量），弹簧储存的弹性势能已全部释放，由能量守恒定律有
   12E₀=$\frac{1}{2}$${m}_{A}{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$+f_A•△s
由此求出物块B滑离木板C时A物块的速度为v_A=4m/s
设此后A滑离木板C时，物体A的速度v_A′，木板C的速度v_c′，有动量守恒定律有
m_Av_A=m_Av_A′+m_Cv_C′
由能量守恒有 f_Ad=$\frac{1}{2}$${m}_{A}{v}_{A}^{2}$-（$\frac{1}{2}$m_Av_A′²+$\frac{1}{2}$m_Cv_C′²）
将d=0.6m及有关数据代入上两式解得：v_C′=1m/s，（v_C′=3m/s，不合题意舍弃）
答：
（1）推力F随A位移的变化图线如图所示；
（2）弹簧储存的弹性势能E₀的大小为25J；
（3）最终C的速度是1m/s．

点评 本题是复杂的力学综合题，既要分析三个物体的受力情况，确定出它们的运动状态，还要根据动量守恒和能量守恒定律结合求解C的最终速度．