Question

15．如图所示，A、B两球均看成质点，B球静止于光滑的水平面上，与竖直墙壁相距为x，A球以某一初速度向B球运动并发生第一次碰撞，已知两球的第二次碰撞发生在距离竖直墙壁为$\frac{1}{2}$x处，若题中的所有碰撞都没有能量损失，求：
①A、B两球的质量之比
②两球的第三次碰撞发生在何处？

Answer 1

分析 ①两求出碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械守恒定律可以求出两球的质量之比．
②两求出碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械守恒定律与两球的路程关系可以求出第三次碰撞的位置．

解答 解：①A、B碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
m_Av₀=m_Av₁+m_Bv₂，
由机械能守恒定律的：$\frac{1}{2}$m_Av₀²=$\frac{1}{2}$m_Av₁²+$\frac{1}{2}$m_Bv₂²，
两球第二次碰撞发生在$\frac{1}{2}$x处，则B的路程为A的路程的3倍，
它们的运动时间t相等，则它们的速度关系为：v₂=3v₁，
解得：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\frac{3}{1}$；
②以向右为正方向，B球与墙壁碰撞后以等大的速度反弹，对于第二次碰撞，由动量守恒定律得：
m_Av₁-m_Bv₂=m_Av₁′+m_Bv₂′，
由机械性能守恒定律的：$\frac{1}{2}$m_Av₁²+$\frac{1}{2}$m_Bv₂²=$\frac{1}{2}$m_Av₁′²+$\frac{1}{2}$m_Bv₂′²，
解得：v₁′=-$\frac{{v}_{0}}{2}$，v₂′=$\frac{3{v}_{0}}{2}$  （v₁′=$\frac{{v}_{0}}{2}$，v₂′=-$\frac{3{v}_{0}}{2}$  不符合题意，舍去）
A向左运动，B向右运动，B与墙壁碰撞反弹后向左运动，然后与A发生第三次碰撞，则A、B发生第三次碰撞时：$\frac{x+{x}_{A}}{x}$=$\frac{3}{1}$，
解得：x_A=$\frac{1}{2}$x，
A在第二次碰撞后向左运动的路程为$\frac{1}{2}$x的路程与B发生第三次碰撞，
两球发生第三次碰撞在墙壁左边的x处．
答：①A、B两球的质量之比为3：1；
②两球的第三次碰撞发生在墙壁左边距离为x处．

点评 本题考查了求小球的质量之比、碰撞发生的位置，两球碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以解题，小球与墙壁碰撞时无机械能损失，碰撞后反向弹回，弹回的速度大小不变．