Question

如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料。图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连。质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v₀进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集。通过调整两板间距d可以改变收集效率η。当d=d₀时，η为81%（即离下板0.81d₀范围内的尘埃能够被收集）。不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。
(1)求收集效率为100%时，两板间距的最大值d_m；
(2)求收集效率η与两板间距d的函数关系；
(3)若单位体积内的尘埃数为n，求稳定的工作时单位时间下板收集的尘埃质量与两板间距d的函数关系，并绘出图线。

Answer 1

解：(1)收集效率η为81%，即离下板0.81d₀的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为U，则
在水平方向有：L=V₀t
在竖直方向有：
其中
当减小两板间距时，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率。收集效率恰好为100%时，两板间距即为d_m甲，如果进一步减小d，收集效率仍为100%。因此
在水平方向有：L=v₀t
在竖直方向有：
其中
联立以上各式可得：d_m=0.9d₀
(2)通过前面的求解可知，当d≤0.9d₀时，收集效率η均为100%
当d>0.9d₀时，设距下板x处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有：
根据题意，收集效率为
可得：
(3)稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量为：
当d≤0.9d₀时，η=1，因此
当d＞0.9d₀时，，因此
绘出图线如下