Question

13．如图，足够长的光滑平行金属导轨电阻不计，间距L=1m，与水平成成θ=37°角倾斜放置，导轨上端连有阻值R=2Ω的电阻，磁感应强度B=1T的匀强磁场垂直于导轨平面．现有质量m=1kg、电阻r=3Ω的金属棒，从导轨上x=0处以初速度v₀=10m/s沿导轨向上运动，对金属棒施加一个平行于导轨平面向上做匀减速运动的过程中，每1s内在电阻R上的电压变化总是2V，已知g=10m/s²，sin37°=0.6．求
（1）电路中电流的最大值；
（2）从开始到运动至最高点的过程中，金属棒的机械能变化量
（3）外力F随金属棒在导轨上的位置x变化的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）金属棒做匀减速运动，开始时速度最大，产生的感应电动势最大，感应电流也最大．由公式E=BLv和欧姆定律结合求解．
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得到电阻R两端电压与速度v的关系式，结合题中的条件求出加速度，由运动学公式求出棒上滑的位移，再由能量守恒求解．
（3）由运动学公式、法拉第电磁感应定律、欧姆定律结合得到安培力的表达式，再由牛顿第二定律求解

解答 （1）金属棒速度最大时，感应电动势E最大，电流I最大，有：
E_m=BLV₀…①
${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}$…②
所以　I_m=2A…③
（2）设棒运动速度为v时，棒上感应电动势E=BLV…④
由闭合电路欧姆定律得 E=I（R+r）…⑤
设电阻R两端电压为U，由欧姆定律得
U=IR…⑥
故$\frac{△U}{△t}=\frac{BLR}{R+r}\frac{△V}{△t}$…⑦
又因为金属棒运动加速度大小a=$\frac{△V}{△t}$…⑧
所以a=5m/s²…⑨
由${V}_{0}^{2}=2aS$…⑩
得：S=10m…（11）
金属棒的重力势能增加量为△E_P=mgsinθ=60J…（12）
所以机械能改变量为 $△E=△{E}_{P}-\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}$=10J…（13）
即机械能增加了10J…（14）
（3）设金属杆到达位置x处时，速度的大小为v则
${V}^{2}-{V}_{0}^{2}=-2ax$…（15）
金属棒受到的安培力F_L=BIL…（16）
由牛顿第二定律：F_L+mgsinθ-F=ma…（17）
联立④⑤⑮⑯⑰，得
F=$1+\sqrt{4-0.4x}$（N）…（18）
答：（1）电路中电流的最大值2A；
（2）从开始到运动至最高点的过程中，金属棒的机械能增加了10J
（3）外力F随金属棒在导轨上的位置x变化的函数表达式F=$1+\sqrt{4-0.4x}$

点评 本题是电磁感应中的力学问题，关键要熟练推导出安培力与速度的关系，运用运动学规律研究速度和位移，要能正确把握能量转化的情况