Question

7．如图所示，aa′、bb′、cc′、dd′为四条平行金属轨道，都处在水平面内，aa′、dd′间距2L，bb′、cc′间距L．磁感应强度B的有界匀强磁场垂直于纸面向里，边界与轨道垂直．ab、cd两段轨道在磁场区域正中间，到磁场左右边界距离均为s．轨道电阻不计且光滑，在a′d′之间接一阻值R的定值电阻．现用水平向右的力拉着质量为m、总电阻r=2R，长为2L的规则均匀金属杆从磁场左侧某处由静止开始向右运动，使金属杆以速度v匀速通过磁场．已知金属杆的电阻与其长度成正比，金属杆与轨道接触良好，运动过程中不转动，忽略与ab、cd重合的短暂时间内速度的变化．试求：
（1）金属杆在ab、cd两段轨道左右两侧磁场中运动时拉力F之比．
（2）通过磁场过程中，整个回路放出的总热量．

Answer 1

分析 （1）由于导轨的宽度发生变化，因此导体棒所受安培力将发生变化，分别写出表达式，即可求出比值；
（2）导体棒匀速运动，根据安培力等于力F求出导体棒进入磁场时的初速度，然后根据功能关系即可求出整个过程中回路产生的热量．

解答 解：（1）当金属杆在ab、cd左侧时，安培力：${F_{A1}}=\frac{{{B^2}{{（2L）}^2}v}}{R+r}$=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$
当金属杆在ab、cd右侧时，安培力：${F_{A2}}=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{{R+\frac{r}{2}}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
所以：$\frac{{F}_{A1}}{{F}_{A2}}=\frac{8}{3}$．
（2）当金属杆在ab、cd左侧匀速运动时，${F}_{{A}_{1}}=\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$；当金属杆在ab、cd右侧时，${F}_{A2}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
根据功能关系可知，拉力做的功转化为电能，并转化为焦耳热，所以：
Q=F_A1•s+F_A2•s
解得：Q=$\frac{11{B}^{2}{L}^{2}vs}{6R}$．
答：（1）金属杆在ab、cd两段轨道左右两侧磁场中运动时拉力F之比是$\frac{8}{3}$．
（2）通过磁场过程中，整个回路放出的总热量是$\frac{11{B}^{2}{L}^{2}vs}{6R}$．

点评 本题的难点在于正确分析安培力的变化，根据运动状态列出方程，同时注意克服安培力所做功等于整个回路中产生的热量．